2015-2016学年河北省秦皇岛市卢龙县高一下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2017-03-24 类型：期中考试

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一、选择题

1. sin330°等于（　　）

A、- $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、- $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知 $\vec{A B}$ = $\vec{a} + 5 \vec{b}$ ， $\vec{B C}$ = $\frac{π}{2}$ ， $\vec{C D}$ = $3 (\vec{a} - \vec{b})$ ，则（）

A、A、 B、D三点共线 B．A、 C、C三点共线 D、C、D三点共线

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3. 已知tanα=﹣ $\frac{3}{4}$ ，α∈（0，π），则cosα=（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、﹣ $\frac{4}{5}$ C、± $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4. 把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到的图象所表示的函数是（）

A、y=sin（ $\frac{1}{2}$ x+ $\frac{π}{6}$ ），x∈R B、y=sin（ $\frac{1}{2}$ x+ $\frac{π}{12}$ ），x∈R C、y=sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ），x∈R D、y=sin（2x+ $\frac{π}{6}$ ），x∈R

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5. 已知tan（α+β）= $\frac{3}{5}$ ，tan（β﹣ $\frac{π}{4}$ ）= $\frac{1}{4}$ ，那么tan（α+ $\frac{π}{4}$ ）为（）

A、 $\frac{13}{18}$ B、 $\frac{13}{23}$ C、 $\frac{3}{18}$ D、 $\frac{7}{23}$

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6. 已知 $\vec{a}$ =（2，3）， $\vec{b}$ =（﹣4，7），则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{65}}{5}$ D、 $\sqrt{65}$

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7. 已知 $\vec{a}$ =（3，0）， $\vec{b}$ =（﹣5，5）则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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8. 若cos²x＞sin²x，x∈[0，π]，则x的取值范围是（）

A、[0， $\frac{π}{4}$ ）∪[ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{3}{4}$ π] B、[0， $\frac{π}{4}$ ）∪（ $\frac{3 π}{4}$ ，π] C、[0， $\frac{π}{4}$ ）∪（ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{3}{4}$ π] D、[ $\frac{π}{2}$ ，π]

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9. f（x）= $\frac{1}{2}$ sin（2x﹣ $\frac{π}{3}$ ）+ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ cos（2x﹣ $\frac{π}{3}$ ）是（）

A、最小正周期为2π的偶函数 B、最小正周期为2π的奇函数 C、最小正周期为 π的偶函数 D、最小正周期为 π的奇函数

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10. 如图，O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 $\vec{b}$ ，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）

A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

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11. 函数y=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图，则（）

A、ω= $\frac{π}{2}$ ，φ= $\frac{π}{4}$ B、ω= $\frac{π}{3}$ ，φ= $\frac{π}{6}$ C、ω= $\frac{π}{4}$ ，φ= $\frac{π}{4}$ D、ω= $\frac{π}{4}$ ，φ= $\frac{5 π}{4}$

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12. 已知 $\vec{a}$ =（cosθ，sinθ）， $\vec{b}$ =（﹣1， $\sqrt{3}$ ），则| $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ |的最大值和最小值分别是（）

A、25，9 B、5，3 C、16，0 D、16，4

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二、填空题

13. 已知下列命题：

①若 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ = $\vec{a}$ • $\vec{c} (\vec{a} \neq \vec{0})$ ，则 $\vec{b}$ = $\vec{c}$ ；
②若 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =0，则 $\vec{a}$ = $\vec{0}$ 或 $\vec{b}$ = $\vec{0}$ ；
③若不平行的两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，满足| $\vec{a}$ |=| $\vec{b}$ |，则（ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ）•（ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）=0；
④若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行，则 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =| $\vec{a}$ || $\vec{b}$ |；
其中真命题的个数是．

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14. 函数y=2sinxcosx﹣1，x∈R的值域是．

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15. 已知 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（﹣3，2），若k $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ 与2 $\vec{a}$ ﹣4 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则实数k的取值范围．

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16. 已知函数f（x）=Asin（ωx）+b（A＞0，ω＞0）的最大值为2，最小值为0，其图象相邻两对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+…+f（2008）= ．

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三、解答题

17. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为交点，若 $\vec{A B}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A D}$ = $\vec{b}$ ，试以 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为基底表示 $\vec{D E}$ 、 $\vec{B F}$ 、 $\vec{C G}$ ．

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18. 已知tanα=﹣ $\frac{1}{3}$ ，计算：

(1)、 $\frac{\sin α + 2 \cos α}{5 \cos α - \sin α}$ ；

(2)、 $\frac{1}{\sin 2 α + \cos^{2} α}$ ．

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19. 已知： $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 是同一平面上的三个向量，其中 $\vec{a}$ =（1，2）．

(1)、若| $\vec{c}$ |=2 $\sqrt{5}$ ，且 $\vec{c}$ ∥ $\vec{a}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标．

(2)、若| $\vec{b}$ |= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且 $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ 与2 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ 垂直，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角θ

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20. 已知向量 $\vec{a}$ =（cosα，sinα）， $\vec{b}$ =（cosβ，sinβ），| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |= $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求cos（α﹣β）的值；

(2)、若0＜α＜ $\frac{π}{2}$ ，﹣ $\frac{π}{2}$ ＜β＜0，且sinβ=﹣ $\frac{5}{13}$ ，求sinα的值．

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21. 已知函数f（x）= $\sqrt{6} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ + $\sqrt{2} \cos^{2} \frac{x}{2}$

(1)、将函数f（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，φ＞0，φ∈[0，2π））的形式；

(2)、求f（x）的单调递减区间，并指出函数|f（x）|的最小正周期；

(3)、求函数f（x）在[ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{7 π}{6}$ ]上的最大值和最小值．

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22. 已知向量 $a = (\cos \frac{3 x}{2} ， s i n \frac{3 x}{2})$ ， $b = (\cos \frac{x}{2} ， - s i n \frac{x}{2})$ ，且 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，f（x）= $\vec{a}$ • $\vec{b}$ ﹣2λ| $\vec{a} + \vec{b}$ |（λ为常数），
求：

(1)、 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ 及| $\vec{a} + \vec{b}$ |；

(2)、若f（x）的最小值是 $- \frac{3}{2}$ ，求实数λ的值．

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