山东省济南市市中区 2019年高三数学高考模拟试卷

试卷更新日期：2018-11-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知命题p： $\exists$ x <1， $x^{2} \leq 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall$ x ≥1， $x^{2} > 1$ B、 $\exists$ x <1， $x^{2} > 1$ C、 $\forall$ x <1， $x^{2} > 1$ D、 $\exists$ x ≥1， $x^{2} > 1$

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2. 已知 $a \in R$ ，集合 $M = {1 ， a^{2}} ， N = {a ， - 1}$ ，若 $M \cup^{} N$ 有三个元素，则 $M \cap^{} N =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${0 ， - 1}$ C、 ${0}$ D、 ${1}$

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3. 已知复数 $z_{1}$ 对应复平面上的点 $(- 1, 1)$ ，复数 $z_{2}$ 满足 $z_{1} z_{2} = - 2$ ，则 $| z_{2} + 2 i | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $10$

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $1 + \log_{3} a_{n} = \log_{3} a_{n - 1} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 9$ ，则 $\log_{\frac{1}{3}} (a_{5} + a_{7} + a_{9}) =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、-5 D、5

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5. 已知焦点在y轴的椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{m + 9} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则m= （）

A、3或 $- \frac{9}{4}$ B、3 C、 $- \frac{9}{4}$ D、 $6 \sqrt{3} - 9$

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6. 若两直线 $3 x + y - 3 = 0$ 与 $6 x + m y + 1 = 0$ 平行，则它们之间的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{5 \sqrt{10}}{26}$ D、 $\frac{7}{20} \sqrt{10}$

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7. 从5名男同学，3名女同学中任选4名参加体能测试，则选到的4名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）

A、 $\frac{28}{29}$ B、 $\frac{27}{29}$ C、 $\frac{11}{14}$ D、 $\frac{13}{14}$

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8. 已知圆 $O$ 与直线 $l$ 相切与点 $A$ ，点 $P ， Q$ 同时从点 $A$ 出发， $P$ 沿直线 $l$ 匀速向右、 $Q$ 沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点 $Q$ 运动到如图所示的位置时，点 $P$ 也停止运动，连接 $O Q ， O P$ ，则阴影部分的面积 $S_{1} ， S_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $S_{1} \geq S_{2}$ B、 $S_{1} \leq S_{2}$ C、 $S_{1} = S_{2}$ D、先 $S_{1} < S_{2}$ ，再 $S_{1} = S_{2}$ ，最后 $S_{1} > S_{2}$

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9. 平行四边形ABCD中， $\vec{A B}$ · $\vec{B D}$ =0，沿BD折成直二面角A一BD－C，且4AB²+2BD² =1，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{48}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{24} π$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2}} ， g (x) = x + m - 1$ ，若对任意 $x_{1} \in [1 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 4]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq - \frac{5}{4}$ B、 $m \leq 2$ C、 $m \leq \frac{3}{4}$ D、 $m \leq 0$

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11. 如图，在平面四边形ABCD中， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $A B = A D = 1$ . 若点E为边CD上的动点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B E}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{21}{16}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{25}{16}$ D、 $3$

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12. 若曲线 $y = ln x + 1$ 的一条切线是 $y = a x + b$ ，则 $4 a + e^{b}$ 的最小值是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 曲线 $f (x) = - 5 e^{x} + 3$ 在点 $(0 ， - 2)$ 处的切线方程为．

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14. 已知 $sin α + cos β = 1$ ， $cos α + sin β = 0$ ，则 $sin (α + β)$ ．

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15. 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．

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16. 已知等腰梯形ABCD中AB∥CD，AB=2CD=4，∠BAD=60°，双曲线以A，B为焦点，且与线段CD（包括端点C、D）有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin²B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a= $\sqrt{2}$ ，求△ABC的面积．

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18. 如图，在三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， ${BB}_{1} ⊥$ 平面ABC， $∠ BAC = 90^{\circ}$ ， $AC = AB = {AA}_{1}$ ，E是BC的中点．

(1)、求证： $AE ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、求异面直线AE与 $A_{1} C$ 所成的角的大小；

(3)、若G为 $C_{1} C$ 中点，求二面角 $C - AG - E$ 的正切值．

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19. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，随机抽取了 $6$ 个试销售数据，得到第 $i$ 个销售单价 $x_{i}$ (单位：元)与销售 $y_{i}$ (单位：件)的数据资料，算得
$\sum_{i = 1}^{6} x_{i} = 51 ， \sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 480 ， \sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{2} = 4066 ， \sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 434.2$
附：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + a$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，其中 $\bar{x} ， \bar{y}$ 是样本平均值.

(1)、求回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + a$ ；

(2)、预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是 $4$ 元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元?(利润-销售收入-成本)

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20. 已知抛物线C： $y^{2}$ =2px经过点p(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B ，且直线PA交y轴于M ，直线PB交y轴于N.
(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；

(Ⅱ)设O为原点， $\vec{Q M} = λ \vec{Q O}$ ， $\vec{Q N} = μ \vec{Q O}$ ，求证： $\frac{1}{λ}$ + $\frac{1}{μ}$ 为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} (a \in R)$ 。

(1)、若 $g (x) = \frac{f (x)}{x + 1}$ 有三个极值点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x) \geq - a x^{3} + 1$ 对任意 $x \in [0 ， 1]$ 都恒成立的 $a$ 的最大值为 $μ$ ，证明： $5 < μ < \frac{26}{5}$ 。

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四、选做题

22. 已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix} (t$ 为参数 $)$ ，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ {cos}^{2} θ -sin θ = 0$ .直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，点 $P (- 1 ， 2)$

(1)、求直线 $l$ 的普通方程与曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、求线段 $A B$ 的长及 $P (- 1 ， 2)$ 到 $A ， B$ 两点的距离之积.

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23. 已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-3，3]．

(1)、求m的值；

(2)、若p，q，r为正实数，且p+q+r=m，求证：p²+q²+r²≥3．

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二、填空题

三、解答题

四、选做题

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