2015-2016学年湖北省宜昌市示范高中协作体高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-23 类型：期中考试

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一、选择题

1. 集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x²+2x﹣3＜0}，则集合M∩N=（）

A、{x|0≤x＜1} B、{x|0≤x＜2} C、{x|0≤x≤1} D、{x|0≤x≤2}

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2. 命题“∀x＞0，x²+x＞O“的否定是（）

A、∃x＞0，使得x²+x＞0 B、∃x＞0，x²+x≤0 C、∀x＞0，都有x²+x≤0 D、∀x≤0，都有x²+x＞0

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3. 某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）

A、至多有一次中靶 B、两次都中靶 C、两次都不中靶 D、只有一次中靶

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4. 已知两条直线l₁：（a﹣1）x+2y+1=0，l₂：x+ay+3=0平行，则a=（）

A、﹣1 B、2 C、0或﹣2 D、﹣1或2

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5. 设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ²），若P（ξ＜2）=0.8，则P（0＜ξ＜1）的值为（）

A、0.6 B、0.4 C、0.3 D、0.2

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6. 若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为60°的两个单位向量，则 $\vec{a}$ =2 $\vec{e_{1}}$ + $\vec{e_{2}}$ ； $\vec{b}$ =﹣3 $\vec{e_{1}}$ +2 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为（）

A、60° B、30° C、150° D、120°

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7. 变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 0 \\ x - 2 y + 2 \geq 0 \\ m x - y \leq 0 \end{matrix}$ ，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（）

A、﹣2 B、﹣1 C、1 D、2

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8. 过点（0，6）且与圆（x﹣1）²+（y﹣1）²=1相切的直线方程是（）

A、12x﹣5y+30=0 B、12x+5y﹣30=0 C、x=0或12x﹣5y+30=0 D、x=0或12x+5y﹣30=0

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9. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 $\frac{1}{4}$ ，则该双曲线的渐近线方程是（）

A、x±2y=0 B、2x±y=0 C、 $\sqrt{3}$ x±y=0 D、x $\pm \sqrt{3}$ y=0

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10. 已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，a₂=3，a_n₊₂=3a_n ，则S₂₀₁₆=（）

A、2×（3¹⁰⁰⁸﹣1） B、2×3¹⁰⁰⁸ C、 $\frac{3^{2016} - 1}{2}$ D、 $\frac{3^{2016} + 1}{2}$

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11. 已知（x﹣1）ⁿ的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若（x﹣1）ⁿ=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a_n（x+1）ⁿ ，则a₁等于（）

A、192 B、448 C、﹣192 D、﹣448

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12. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）

A、12π B、48π C、4 $\sqrt{3}$ π D、32 $\sqrt{3}$ π

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二、填空题

13. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为．

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14. 在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于 $\frac{1}{4}$ 的概率是．

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15. 某校6名同学进入演讲比赛的终极PK，要求安排选手A不是第一个上场也不是最后一个，选手B和C必须相邻则不同排法的种数是．

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16. 定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x²﹣2^x ，则函数f（x）在区间[0，2016]上的零点个数是．

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三、解答题

17. 某工厂为了对新研究的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x元
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销售y件
90
84
83
80
75
68

(1)、求回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b}$ =﹣20．

(2)、预计在今后的销售中，销售与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价定为多少元？

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18. 已知函数f（x）=cos⁴x﹣2sinxcosx﹣sin⁴x．

(1)、求f（x）的最小正周期及对称中心；

(2)、当x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]时，求f（x）的单调递减区间．

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19. 已知命题p：“存在 $x \in R ， 2 x^{2} + (m - 1) x + \frac{1}{2} \leq 0$ ”，命题q：“曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{2 m + 8} = 1$ 表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{m - t} + \frac{y^{2}}{m - t - 1} = 1$ 表示双曲线”

(1)、若“p且q”是真命题，求m的取值范围；

(2)、若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．

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20. 为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将从该市某学校抽取的样本数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．
（I）求该校报考体育专业学生的总人数n；
（Ⅱ）若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况，现从该市报考体育专业的学生中任选3人，设ξ表示体重超过60千克的学生人数，求ξ的分布列和数学期望．

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21. 如图，在长方体A₁B₁C₁D₁﹣ABCD中，AD=CD=4，AD₁=5，M是线段B₁D₁的中点．

(1)、求证：BM∥平面D₁AC；

(2)、求直线DD₁与平面D₁AC所成角的正弦值．

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22. 如图，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、求 $\vec{T M}$ • $\vec{T N}$ 的最小值；

(3)、设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|是定值．

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单价x元	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销售y件	90	84	83	80	75	68