2015-2016学年河南省郑州市登封市高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-23 类型：期中考试

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一、选择题：

1. 计算： $\int_{- 2}^{1}$ |x|dx=（）

A、﹣1 B、1 C、﹣ $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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2. 已知m∈R，i为虚数单位，则“m=1”是“复数z=m²﹣1+（m+1）i为纯虚数”的（）

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 下面是一段“三段论”推理过程：设函数f（x）的导数为f′（x）．若函数f（x）在区间（a，b）内无极值点，则f′（x）在区间（a，b）内无零点．因为f（x）=x³在（﹣1，1）内无极值点，所以f′（x）=3x²在（﹣1，1）内无零点．以上推理中（）

A、大前提错误 B、小前提错误 C、结论正确 D、推理形式错误

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4. 已知i为虚数单位，复数z满足 $\frac{1 + z}{1 - z}$ =i，则z²⁰¹⁶=（）

A、﹣2i B、2i C、﹣1 D、1

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5. 由直线y=0，x=e，y=2x及曲线 $y = \frac{2}{x}$ 所围成的封闭的图形的面积为（）

A、3+2ln2 B、3 C、2e²﹣3 D、e

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6. 如果命题p（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（）

A、p（n）对所有正整数n都成立 B、p（n）对所有正偶数n都成立 C、p（n）对大于或等于2的正整数n都成立 D、p（n）对所有自然数都成立

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7. 小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时，
小赵说：我没去过；
小钱说：小李去过；
小孙说；小钱去过；
小李说：我没去过．
假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（）

A、小赵 B、小李 C、小孙 D、小钱

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8. 把一个带+q电量的点电荷放在r轴上原点处，形成一个电场，距离原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式F=k $\frac{q}{r^{2}}$ （其中k为常数）确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r轴的方向从r=a处移动到r=2a处，与从r=2a处移动到r=3a处，电场力对它所做的功之比为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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9. 给出下列4个求导运算，其中正确的个数是（）
①（x+ $\frac{1}{x}$ ）′=1+ $\frac{1}{x^{2}}$ ；
②（log₂x）′= $\frac{1}{x \ln 2}$ ；
③（3^x）′=3^x•log₃e；
④（x²cos2x）′=﹣2xsin2x．

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）

A、假设三内角都不大于60度 B、假设三内角都大于60度 C、假设三内角至多有一个大于60度 D、假设三内角至多有两个大于60度

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11. 设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数f（x）= $\frac{1}{2}$ x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）

A、 $\frac{13}{6} e^{6}$ B、 $\frac{1}{6} e^{6}$ C、 $\frac{7}{2} e^{\frac{2}{3}}$ D、 $\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3}}$

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二、填空题：

13. 已知函数f（x）= $\frac{1}{3} x^{3}$ ﹣ $\frac{b}{2} x^{2}$ +x+d在R上单调，则b的取值范围为．（用区间表示）

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14. 若复数z满足3z+ $\bar{z}$ =1+i，其中i是虚数单位，则z= ．

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15. 在圆中有“圆心与弦（非直径）的中点的连线垂直于弦所在的直线”．比上述性质，相应地：在球中有．

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16. 设a＞1，若关于x的方程a^x=x无实根，则实数a的取值范围为．（用区间表示）

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三、解答题：

17. 已知函数f（x）=x²﹣3x+alnx（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）设函数f（x）图象上任意一点的切线l的斜率为k，当k的最小值为1时，求此时切线l的方程．

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18. 数列{a_n}满足a₁=1，a_n₊₁= $\frac{2 a_{n}}{2 + a_{n}}$ （n∈N^*）．

(1)、计算a₂ ， a₃ ， a₄ ，并由此猜想通项公式a_n；

(2)、用数学归纳法证明（1）中的猜想．

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19. 已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，且z是方程x²﹣4x+5=0的根．

(1)、求复数z；

(2)、复数w=a﹣ $\frac{(- 1 + i) (2 + i)}{i}$ （a∈R）满足|w﹣z|＜2 $\sqrt{5}$ ，求a的取值范围．

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20. 某商店商品每件成本10元，若售价为25元，则每天能卖出288件，经调查，如果降低价格，销售量可以增加，且每天多卖出的商品件数t与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤15）的关系是t=6x² ．

(1)、将每天的商品销售利润y表示成x的函数；

(2)、如何定价才能使每天的商品销售利润最大？

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21. 某同学在独立完成课本上的例题：“求证： $\sqrt{3}$ + $\sqrt{7}$ ＜2 $\sqrt{5}$ ”后，又进行了探究，发现下面的不等式均成立．
$\sqrt{0}$ + $\sqrt{10}$ ＜2 $\sqrt{5}$
$\sqrt{1.3}$ + $\sqrt{8.7}$ ＜2 $\sqrt{5}$
$\sqrt{2}$ + $\sqrt{8}$ ＜2 $\sqrt{5}$
$\sqrt{4.6}$ + $\sqrt{5.4}$ ＜2 $\sqrt{5}$ ，
$\sqrt{5}$ + $\sqrt{5}$ ≤2 $\sqrt{5}$ ．

(1)、请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式；（用字母表示）

(2)、请用合适的方法证明你写出的不等式成立．

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22. 已知函数f（x）=e^xsinx，其中x∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，f（x）≥kx，求实数k的取值范围．

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