2015-2016学年福建省泉州市五校联考高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-23 类型：期中考试

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一、选择题：

1. 若复数 $\frac{2 - a i}{1 + i}$ （a∈R）是纯虚数，i是虚数单位，则a的值是（）

A、2 B、1 C、﹣1 D、﹣2

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2. 从一批产品中取出三件产品，设A表示事件“三件产品全不是次品”，B表示事件“三件产品全是次品”，C表示事件“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）

A、事件A与C互斥 B、任何两个事件均互斥 C、事件B与C互斥 D、任何两个事件均不互斥

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3. 某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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4. 如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}$ =0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5

A、产品的生产能耗与产量呈正相关 B、t的取值必定是3.15 C、回归直线一定过点（4，5，3，5） D、A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨

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5. 在平面直角坐标系xOy中，满足x²+y²≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为 $\frac{π}{4}$ ；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x²+y²+z²≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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6. 有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（　　）

A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、非以上错误

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7. 下列说法：
①一组数据不可能有两个众数；
②一组数据的方差必为正数，且方差越大，数据的离散程度越大；
③将一组数据中的每个数都加上同一个常数后，方差恒不变；
④在频率分布直方图中，每个长方形的面积等于相应小组的频率．
其中错误的个数有（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 将一枚骰子投掷两次，所得向上点数分别为m和n，则函数y=mx²﹣nx+1在[1，+∞）上为增函数的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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9. 某节假日，一校办公室要安排从一号至六号由指定的六个人参加的值班表．要求每人值班一天，但甲与乙不能相邻且丙与丁也不能相邻，则不同的安排方法有（）种．

A、336 B、408 C、240 D、264

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10. [ $\sqrt{n}$ ]表示不超过 $\sqrt{n}$ 的最大整数．若
S₁=[ $\sqrt{1}$ ]+[ $\sqrt{2}$ ]+[ $\sqrt{3}$ ]=3，
S₂=[ $\sqrt{4}$ ]+[ $\sqrt{5}$ ]+[ $\sqrt{6}$ ]+[ $\sqrt{7}$ ]+[ $\sqrt{8}$ ]=10，
S₃=[ $\sqrt{9}$ ]+[ $\sqrt{10}$ ]+[ $\sqrt{11}$ ]+[ $\sqrt{12}$ ]+[ $\sqrt{13}$ ]+[ $\sqrt{14}$ ]+[ $\sqrt{15}$ ]=21，
…，
则S_n=（）

A、n（n+2） B、n（n+3） C、（n+1）²﹣1 D、n（2n+1）

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11. 设a，b∈（0，+∞），则a+ $\frac{1}{b} ， b + \frac{1}{a}$ （）

A、都不大于2 B、都不小于2 C、至少有一个不大于2 D、至少有一个不小于2

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12. 在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线BD₁垂直的概率为（）

A、 $\frac{27}{190}$ B、 $\frac{12}{166}$ C、 $\frac{15}{166}$ D、 $\frac{27}{166}$

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二、填空题：

13. 若复数z满足 $\frac{z}{2 + i}$ =i²⁰¹⁵+i²⁰¹⁶（i为虚数单位），则|z|= ．

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14. （ $\frac{1}{x}$ ﹣2）（x+1）⁵展开式中x²项的系数为．

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15. 已知Q={（x，y）|3x+y≤4，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤y}，若向区域Q内随机投入一点P，则点P落入区域A的概率为．

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16. 彩票公司每天开奖一次，从1，2，3，4四个号码中随机开出一个作为中奖号码，开奖时如果开出的号码与前一天相同，就要重开，直到开出与前一天不同的号码为止．如果第一天开出的号码是4，则第五天开出的号码也同样是4的概率为．

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三、解答题：

17. 某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：
API
[0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200]
（200，250]
（250，300]
＞300
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15

(1)、若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：
S= ${\begin{matrix} 0, 0 \leq ω \leq 100 \\ 4 ω - 400, 100 < ω \leq 300 \\ 2000, ω > 300 \end{matrix}$ ，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；

(2)、若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
附：
P（K²≥k₀）
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
k²= $\frac{n {(a d + b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
非供暖季
合计
100

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18. 某市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准，必须先了解全市居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了n位居民在2012年的月均用电量（单位：度）数据，样本统计结果如下图表：
分组
频数
频率
[0，10）
0.05
[10，20）
0.10
[20，30）
30
[30，40）
0.25
[40，50）
0.15
[50，60]
15
合计
n
1

(1)、求月均用电量的中位数与平均数估计值；

(2)、如果用分层抽样的方法从这n位居民中抽取8位居民，再从这8位居民中选2位居民，那么至少有1位居民月均用电量在30至40度的概率是多少？

(3)、用样本估计总体，把频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用电量在30至40度的居民数X的分布列．

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19. 已知：sin²30°+sin²90°+sin²150°= $\frac{3}{2}$ ；
sin²5°+sin²65°+sin²125°= $\frac{3}{2}$ ；
sin²12°+sin²72°+sin²132°= $\frac{3}{2}$ ；
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给予的证明．

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20. 为贯彻“激情工作，快乐数学”的理念，某学校在学习之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为 $\frac{2}{3}$ ．

(1)、求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；

(2)、设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

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21. 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 $\frac{2}{3}$ ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P₀（0＜P₀＜1），中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为 $\frac{7}{9}$ ，求P₀；
（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

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API	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，300]	＞300
空气质量	优	良	轻微污染	轻度污染	中度污染	中度重污染	重度污染
天数	4	13	18	30	9	11	15

P（K²≥k₀）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	非重度污染	重度污染	合计
供暖季
非供暖季
合计			100

分组	频数	频率
[0，10）		0.05
[10，20）		0.10
[20，30）	30
[30，40）		0.25
[40，50）		0.15
[50，60]	15
合计	n	1

x	3	4	5	6
y	2.5	t	4	4.5