2015-2016学年福建省福州市五校联考高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-23 类型：期中考试

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一、选择题

1. ﹣ $\int_{1}^{2}$ xdx=（）

A、- $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、﹣1 D、1

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2. 复数 $\frac{i^{3}}{2 i - 1}$ （i为虚数单位）的共轭复数是（）

A、 $- \frac{2}{5} + \frac{1}{5} i$ B、 $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} i$ C、 $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} i$ D、 $- \frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$

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3. 一个物体的运动方程为s=1﹣t+t²其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在t=4时的瞬时速度是（）

A、7米/秒 B、6米/秒 C、5米/秒 D、8米/秒

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4. 若曲线f（x）=x⁴﹣4x在点A处的切线平行于x轴，则点A的坐标为（）

A、（﹣1，2） B、（1，﹣3） C、（1，0） D、（1，5）

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5. 下面几种推理过程是演绎推理的是（）

A、由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B、所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电 C、高一参加军训有12个班，1班51人，2班53人，三班52人，由此推测各班都超过50人 D、在数列{a_n}中，a₁=2，a_n=2a_n_﹣₁+1（n≥2），由此归纳出{a_n}的通项公式

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6. 电动自行车的耗电量y与速度x的关系为y= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{39}{2} x^{2}$ ﹣40x（x＞0），为使耗电量最小，则速度应为（）

A、45 B、40 C、35 D、30

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7. 若函数y=x³﹣3bx+1在区间（1，2）内是减函数，b∈R，则（）

A、b≤4 B、b＜4 C、b≥4 D、b＞4

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8. 下列求导运算正确的是（）

A、（ $\frac{1}{l n x}$ ）′=x B、（x•e^x）′=e^x+1 C、（x²cosx）′=﹣2xsinx D、 ${(x - \frac{1}{x})}^{'} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$

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9. 函数g（x）=﹣x²+2lnx的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 用数学归纳法证明“ $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{2 n}$ ”时，由n=k的假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）

A、 $\frac{1}{k + 1} + \dots + \frac{1}{2 k} + \frac{1}{2 k + 1}$ B、 $\frac{1}{k + 1} + \dots + \frac{1}{2 k} + \frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2}$ C、 $\frac{1}{k + 2} + \dots + \frac{1}{2 k} + \frac{1}{2 k + 1}$ D、 $\frac{1}{k + 2} + \dots + \frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2}$

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11. 如图，已知△ABC周长为2，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（）

A、 $\frac{1}{2002}$ B、 $\frac{1}{2001}$ C、 $\frac{1}{2^{2002}}$ D、2 $^{\frac{1}{2001}}$

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12. 已知奇函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＞0时有2f（x）+xf′（x）＞x² ，则不等式（x+2014）²f（x+2014）+4f（﹣2）＜0的解集为（）

A、（﹣∞，﹣2012） B、（﹣2016，﹣2012） C、（﹣∞，﹣2016） D、（﹣2016，0）

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二、填空题

13. 曲线y= $\sqrt{x}$ 和直线y=x围成的图形面积是．

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14. 用反证法证明命题：“设实数a，b，c满足a+b+c=3，则a，b，c中至少有一个数不小于1”时，第一步应写：假设．

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15. 已知f（x）=x²+3xf′（2），则1+f′（1）= ．

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16. 下列命题中正确的有．（填上所有正确命题的序号）
①一质点在直线上以速度v=3t²﹣2t﹣1（m/s）运动，从时刻t=0（s）到t=3（s）时质点运动的路程为15（m）；
②若x∈（0，π），则sinx＜x；
③若f′（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀取得极值；
④已知函数 $f (x) = \sqrt{- x^{2} + 4 x}$ ，则 $\int_{0}^{2} f (x) d x = π$ ．

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三、解答题

17. 用分析法证明：当x≥4时， $\sqrt{x - 3}$ + $\sqrt{x - 2}$ ＞ $\sqrt{x - 4}$ + $\sqrt{x - 1}$ ．

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18. 设z₁=2x+1+（x²﹣3x+2）i，z₂=x²﹣2+（x²+x﹣6）i（x∈R）．

(1)、若z₁是纯虚数，求实数x的取值范围；

(2)、若z₁＞z₂ ，求实数x的取值范围．

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19. 已知函数f（x）= $\frac{1}{3} x^{3}$ ﹣ax+b，在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y﹣10=0，求

(1)、实数a，b的值；

(2)、函数f（x）的单调区间以及在区间[0，3]上的最值．

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20. 已知a₁= $\frac{1}{2} ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2 a_{n}}$ （n∈N^*）

(1)、求a₂ ， a₃ ， a₄并由此猜想数列{a_n}的通项公式a_n的表达式；

(2)、用数学归纳法证明你的猜想．

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21. 已知a∈R，函数f（x）= $\frac{1}{2} x^{2}$ +alnx﹣3x，g（x）=﹣x²+8x，且x=1是函数f（x）的极大值点．

(1)、求a的值．

(2)、如果函数y=f（x）和函数y=g（x）在区间（b，b+1）上均为增函数，求实数b的取值范围．

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22. 已知函数f（x）= $\frac{a x}{e^{x}}$ ，其中a＞0，且函数f（x）的最大值是 $\frac{1}{e}$

(1)、求实数a的值；

(2)、若函数g（x）=lnf（x）﹣b有两个零点，求实数b的取值范围；

(3)、若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜ $\frac{1}{k + 2 x - x^{2}}$ 成立，求实数k的取值范围．

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