广东省佛山市2018年-2019年高三上学期（理科）数学期末模拟测试卷

试卷更新日期：2018-11-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A= {x | - 2 < x < 4}$ ， $B = {x | y = lg (x - 2)}$ ，则 $A \cap^{} (C_{R} B) =$ （）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(- 2 ， 4)$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 2]$

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2. “ $α = \frac{π}{4}$ ”是“ $cos 2 α = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要

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3. 在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，且 $\overset{⇀}{B D} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{D A}$ ，设 $\overset{⇀}{C B} = a$ ， $\overset{⇀}{C A} = b$ ，则 $\overset{⇀}{C D}$ 为（）

A、 $\frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b$ B、 $\frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b$ C、 $\frac{3}{5} a + \frac{4}{5} b$ D、 $\frac{4}{5} a + \frac{3}{5} b$

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4. 已知 $1$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $4$ 成等差数列， $1$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， $4$ 成等比数列，则 $\frac{a_{1} + a_{2}}{b_{2}}$ 的值是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ 或 $- \frac{5}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为（）
①若 $m / / n ， n \subset α$ ，则 $m / / α$ ； ②若 $l ⊥ α ， m ⊥ β$ 且 $l ⊥ m$ 则 $α ⊥ β$
③ 若 $l ⊥ n ， m ⊥ n$ 则 $l / / m$ ④若 $α ⊥ β ， α \cap β = m ， n \subset β ， n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ α$

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 函数 $f (x) = (\frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}) cos x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若复数 $z$ 满足 $(3+4i) z = 1 - i$ $(i$ 是虚数单位 $)$ ，则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{5} - \frac{7}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} + \frac{7}{5} i$ C、 $- \frac{1}{25} - \frac{7}{25} i$ D、 $- \frac{1}{25} + \frac{7}{25} i$

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8. 如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知直角三角形较大锐角的正弦值为 $\frac{12}{13}$ ，向大正方形区域内随机地掷一点，则该点落在小正方形内的概率是（）

A、 $\frac{25}{144}$ B、 $\frac{49}{169}$ C、 $\frac{49}{144}$ D、 $\frac{144}{169}$

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9. 设函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ 与 $g (x) = 3 - x$ 的图象的交点为 $(x_{0} ， y_{0})$ ，则 $x_{0}$ 所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 sin (\frac{π}{3} x + \frac{π}{6}) + 2$ ，对任意的 $a \in [1 ， 2)$ ，方程 $f (x) - a = 2 (0 \leq x < m)$ 有两个不同的实数根，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(2 ， 6]$ B、 $[2 ， 6]$ C、 $(2 ， 7]$ D、 $[2 ， 7]$

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11. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，且 $∠ P F_{2} F_{1} = 60^{\circ}$ ，则C的离心率为（）

A、1- $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、2- $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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12. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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二、填空题

13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} x - 2 y + 5 \leq 0 \\ x + 3 \geq 0 \\ x \leq 2 \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最小值是.

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $\frac{S_{2018}}{2018} - \frac{S_{2}}{2} = 2016$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d$ 是．

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15. 在 ${(x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为

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16. 3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有种.

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知向量 $\vec{m} = (\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $\vec{n} = (sin x ， cos x)$ ， $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ .
(Ⅰ)若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，求 $tan x$ 的值；
(Ⅱ)若 $\vec{m} ， \vec{n}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $x$ 的值.

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18. 已知四棱锥 $S - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是正方形， $S A ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)、求证：直线 $B D ⊥$ 平面 $S A C$ ；

(2)、当 $\frac{S A}{A D}$ 的值为多少时，二面角 $B - S C - D$ 的大小为 $120 °$ ？

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19. 电子商务公司对某市50000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额都在5000元到10000元之间，其频率分布直方图如下：

(1)、求图中 $x$ 的值，并求出消费金额不低于8000元的购物者共多少人；

(2)、若将频率视为概率，从购物者中随机抽取50人，记消费金额在7000元到9000元的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的数学期望和方差.

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20. 过椭圆 $M$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 右焦点的直线 $x + y - \sqrt{3} = 0$ 交 $M$ 于 $A$ ， $B$ 两点，且椭圆的长轴长为短轴长的 $\sqrt{2}$ 倍.

(1)、求 $M$ 的方程；

(2)、 $C$ ， $D$ 为 $M$ 上的两点，若四边形 $A C B D$ 的对角线分别为 $A B$ ， $C D$ ，且 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{C D} = 0$ ，求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{a} - 2 ln x (a \in R ， a \neq 0)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且 $a = 4$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 4$ .

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四、第22,23题为选考题，考生选择一题作答。

22. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ (其中 $t$ 为参数）.现以坐标原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 6 cos θ$ .

(1)、写出直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若点 $P$ 坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $A ， B$ 两点，求 $| P A | + | P B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) + f (2 x - 2) > 2$ ；

(2)、若不等式 $f (x + a - 1) - f (x) \leq | x - 2 |$ 的解集包含 $[- 1 ， 2]$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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