2017年山西省重点中学协作体高考数学一模试卷

试卷更新日期：2017-03-16 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 集合M={x|x²﹣2x﹣3＜0}，N={x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）

A、[3，+∞） B、（3，+∞） C、（﹣∞，﹣1] D、（﹣∞，﹣1）

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2. 若函数y=x³+x²+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）

A、（ $\frac{1}{3}$ ，+∞） B、（﹣∞， $\frac{1}{3}$ ] C、[ $\frac{1}{3}$ ，+∞） D、（﹣∞， $\frac{1}{3}$ ）

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3. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且f（﹣1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（）

A、1 B、0 C、﹣2 D、2

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4. 已知log₇[log₃（log₂^x）]=0，那么x $^{- \frac{1}{2}}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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5. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$ π B、 $\frac{1}{3}$ + $\frac{\sqrt{2}}{3}$ π C、 $\frac{1}{3}$ + $\frac{\sqrt{2}}{6}$ π D、1+ $\frac{\sqrt{2}}{6}$ π

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6. 在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2AB．若E，F分别为线段A₁D₁ ， CC₁的中点，则直线EF与平面ABB₁A₁所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）

A、 $\frac{8}{29}$ 尺 B、 $\frac{16}{29}$ 尺 C、 $\frac{32}{29}$ 尺 D、 $\frac{1}{2}$ 尺

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8. 现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，a₃= $\frac{3}{2}$ ，S₃= $\frac{9}{2}$ ，则公比q=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1或﹣ $\frac{1}{2}$ D、1或 $\frac{1}{2}$

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11. 已知抛物线C₁：y= $\frac{1}{2 p}$ x²（p＞0）的焦点与双曲线C₂： $\frac{x^{2}}{3}$ ﹣y²=1的右焦点的连线交C₁于第一象限的点M，若C₁在点M处的切线平行于C₂的一条渐近线，则p=（　　）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{16}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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12.
函数y=f（x）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）

A、（﹣1，3）为函数y=f（x）的递增区间 B、（3，5）为函数y=f（x）的递减区间 C、函数y=f（x）在x=0处取得极大值 D、函数y=f（x）在x=5处取得极小值

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二、填空题

13. 已知函数f（x）=x²^﹣^m是定义在区间[﹣3﹣m，m²﹣m]上的奇函数，则f（m）= ．

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14. 已知变量x、y满足条件 ${\begin{matrix} y \leq x \\ x + y \leq 1 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ ，求z=2x+y的最大值．

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{3}}{m}$ ﹣ $\frac{y^{3}}{3}$ =1与 $\frac{x^{2}}{8}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{3}$ =1有相同的离心率，则m= ．

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16. 已知点P在单位圆x²+y²=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d₁、d₂ ，则d₁+d₂的最小值是．

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三、简答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x - \cos (2 x + \frac{π}{2})$
（Ⅰ）求 $f (\frac{π}{8})$ 的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．

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18. 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计

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19.
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形．

(1)、求证：MN∥平面PAD．

(2)、若PA=AD=2a，MN与PA所成的角为30°．求MN的长．

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20. 已知两定点F₁（﹣ $\sqrt{2}$ ，0），F₂（ $\sqrt{2}$ ，0），满足条件|PF₂|﹣|PF₁|=2的点P的轨迹是曲线E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、设过点（0，﹣1）的直线与曲线E交于A，B两点．如果|AB|=6 $\sqrt{3}$ ，求直线AB的方程．

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21. 已知函数f（x）=a^x+x²﹣xlna（a＞0，a≠1）．

（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁ ， x₂∈[﹣1，1]，使得|f（x₁）﹣f（x₂）|≥e﹣1，试求a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \cos θ \\ y = 2 + \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρcosθ=﹣2．

（Ⅰ）求C₁和C₂在直角坐标系下的普通方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=x和曲线C₁交于M，N两点，求弦MN中点的极坐标．

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23.
如图（1）所示，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片如图（2）所示，量得三角形纸片的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图（3）所示的形状．最后将图（3）中的△ABF绕直线AF翻转180°得到△AB1F，AB1交DE于点H，如图（4）所示，请你帮小明证明：AH=DH．

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24. 已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1

(1)、当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；

(2)、已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．

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	非体育迷	体育迷	合计
男
女		10	55
合计