2017年吉林省吉林市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-16 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知U=R，M={x|﹣l≤x≤2}，N={x|x≤3}，则（∁_UM）∩N=（）

A、{x|2≤x≤3} B、{x|2＜x≤3} C、{x|x≤﹣1，或2≤x≤3} D、{x|x＜﹣1，或2＜x≤3}

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2. 如果复数z= $\frac{2}{- 1 + i}$ ，则（）

A、|z|=2 B、z的实部为1 C、z的虚部为﹣1 D、z的共轭复数为1+i

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3. 下列关于命题的说法错误的是（　　）

A、命题“若x²﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²﹣3x+2≠0” B、“a=2”是“函数f（x）=log_ax在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件 C、若命题P：∃n∈N，2ⁿ＞1000，则﹣P：∀n∈N，2ⁿ≤1000 D、命题“∃x∈（﹣∞，0），2^x＜3^x”是真命题

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4. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a= $\sqrt{7}$ ，b=3，c=2，则∠A=（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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5. 函数f（x）= $\frac{1}{x}$ +ln|x|的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6.
阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）

A、﹣2 B、 $\frac{1}{2}$ C、﹣1 D、2

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7. 设{a_n}是公差不为零的等差数列，满足 $a_{4}^{2} + a_{5}^{2} = a_{6}^{2} + a_{7}^{2}$ ，则该数列的前10项和等于（）

A、﹣10 B、﹣5 C、0 D、5

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8. 某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）

A、4π B、 $\frac{28}{3}$ π C、 $\frac{44}{3}$ π D、20π

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9. 已知f（x）= $\sqrt{3}$ sinxcosx﹣sin²x，把f（x）的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（α+ $\frac{π}{4}$ ）+g（ $\frac{π}{4}$ ）=（）

A、4 B、3 C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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10. 在等腰直角△ABC中，AC=BC，D在AB边上且满足： $\vec{C D} = t \vec{C A} + (1 - t) \vec{C B}$ ，若∠ACD=60°，则t的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

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11. 已知双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ ，双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ， M是双曲线C₂的一条渐近线上的点，且OM⊥MF₂ ， O为坐标原点，若 $S_{△ O M F_{2}} = 16$ ，且双曲线C₁ ， C₂的离心率相同，则双曲线C₂的实轴长是（）

A、32 B、16 C、8 D、4

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{| x - 1 |} ， x > 0 \\ - x^{2} - 2 x + 1 ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，若关于x的方程f²（x）﹣3f（x）+a=0（a∈R）有8个不等的实数根，则a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4})$ B、 $(\frac{1}{3} ， 3)$ C、（1，2） D、 $(2 ， \frac{9}{4})$

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二、填空题：

13. 已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域 ${\begin{matrix} x + y \geq 2 \\ x \leq 1 \\ y \leq 2 \end{matrix}$ 上的一个动点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O M}$ 的取值范围是．

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14. 已知| $\vec{a}$ |=2，| $\vec{b}$ |=2， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为45°，且λ $\vec{b}$ ﹣ $\vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则实数λ= ．

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15. 过抛物线C：y²=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是．

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16. 艾萨克•牛顿（1643年1月4日﹣1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f（x）零点时给出一个数列{x_n}：满足 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$ ，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x_n}为牛顿数列，设 $a_{n} = \ln \frac{x_{n} - 2}{x_{n} - 1}$ ，已知a₁=2，x_n＞2，则{a_n}的通项公式a_n= ．

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三、解答题：

17.
已知函数 $f (x) = M \sin (ω x + ϕ) (M > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求函数f（x）的解析式；

(2)、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求 $f (\frac{A}{2})$ 的取值范围．

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18. 已知数列{a_n}是等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₃=3，S₃=9

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂ $\frac{3}{a_{2 n + 3}}$ ，且{b_n}为递增数列，若c_n= $\frac{4}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}$ ，求证：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜1．

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19. 某车间20名工人年龄数据如表：
年龄（岁）
19
24
26
30
34
35
40
合计
工人数（人）
1
3
3
5
4
3
1
20
（Ⅰ）求这20名工人年龄的众数与平均数；
（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
（Ⅲ）从年龄在24和26的工人中随机抽取2人，求这2人均是24岁的概率．

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20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AEF所成的二面角的正弦值．

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21.
如图，椭圆E： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ ，点P（0，1）在短轴CD上，且 $\vec{P C} \cdot \vec{P D} = - 2$

（Ⅰ）求椭圆E的方程及离心率；
（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + λ \vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

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22. 设函数f（x）=（x+b）lnx，g（x）=alnx+ $\frac{1 - a}{2} x^{2}$ ﹣x（a≠1），已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直．

(1)、求b的值；

(2)、若对任意x≥1，都有g（x）＞ $\frac{a}{a - 1}$ ，求a的取值范围．

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年龄（岁）	19	24	26	30	34	35	40	合计
工人数（人）	1	3	3	5	4	3	1	20