2017年湖北省武昌区高三元月调考数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-16 类型：月考试卷

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一、选择题：

1. 设A，B是两个非空集合，定义集合A﹣B={x|x∈A且x∉B}．若A={x∈N|0≤x≤5}，B={x|x²﹣7x+10＜0}，则A﹣B=（）

A、{0，1} B、{1，2} C、{0，1，2} D、{0，1，2，5}

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2. 已知复数 $z = \frac{a + i}{2 - i}$ （i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 2)$ C、（﹣∞，﹣2） D、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$

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3. 执行如图所示的程序框图，若输入的 x=2017，则输出的i=（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 已知函数f （ x）=2ax﹣a+3，若∃x₀∈（﹣1，1），f （ x₀ ）=0，则实数 a 的取值范围是（）

A、（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） B、（﹣∞，﹣3） C、（﹣3，1） D、（1，+∞）

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5. 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A=“4 个人去的景点不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则P（ A|B）=（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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6. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）

A、1.2 B、1.6 C、1.8 D、2.4

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7. 若 ${(\frac{3}{\sqrt{x}} - \sqrt[3]{x})}^{n}$ 的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（）

A、﹣270 B、270 C、﹣90 D、90

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8. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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9. 已知函数 f （ x）的部分图象如图所示，则 f （ x）的解析式可以是（）

A、f（x）= $\frac{2 - x^{2}}{2 x}$ B、f（x）= $\frac{\cos x}{x^{2}}$ C、f（x）= $\frac{\cos^{2} x}{x}$ D、f（x）= $\frac{\cos x}{x}$

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10. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq a \\ x - y \leq - 1 \end{matrix}$ 且z=x+ay的最小值为7，则a=（）

A、﹣5 B、3 C、﹣5或3 D、5或﹣3

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线分别为l₁ ， l₂ ，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁ ， l₂ 于 A，B 两点．若| $\vec{O A}$ |，| $\vec{A B}$ |，| $\vec{O B}$ |成等差数列，且 $\vec{B F}$ 与 $\vec{F A}$ 反向，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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12. 在锐角三角形ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若a=2bsinC，则tanA+tanB+tanC的最小值是（）

A、4 B、 $3 \sqrt{3}$ C、8 D、 $6 \sqrt{3}$

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二、填空题：

13. 已知抛物线 Γ：y²=8x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为K，点 P 在 Γ 上且 $| P K | = \sqrt{2} | P F |$ ，则△PKF的面积为．

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14. 函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} + 2 x) - 5 \sin x$ 的最大值为．

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15. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 120°，且 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2$ ．若平面向量 $\vec{m}$ 满足 $\vec{m} \cdot \vec{a} = \vec{m} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $| \vec{m} |$ = ．

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16. 若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则（写出所有正确结论编号）
①四面体ABCD每组对棱相互垂直
②四面体ABCD每个面的面积相等
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°
④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．

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三、解答题：

17. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知a₁=9，a₂为整数，且S_n≤S₅ ．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和为T_n ，求证： $T_{n} \leq \frac{4}{9}$ ．

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18.
如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．

（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．

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19.
我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了 100 位居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求直方图中 a 的值；
（Ⅱ）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x（吨），估计 x 的值，并说明理由；
（Ⅲ）已知平价收费标准为 4 元/吨，议价收费标准为 8元/吨．当 x=3时，估计该市居民的月平均水费．（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）

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20. 设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（Ⅰ）若 $\vec{E D} = 6 \vec{D F}$ ，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{1}{2} x^{2} + (1 - a) x - a \ln x$ ．

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、设a＞0，证明：当0＜x＜a时，f（x+a）＜f（a﹣x）；

(3)、设x₁ ， x₂是f（x）的两个零点，证明：f′（ $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ）＞0．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = a \cos t \\ y = 2 \sin t \end{matrix}$ （t为参数，a＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 $ρ \cos (θ + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ ．

（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；
（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．

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23. 设函数f（x）=|x﹣2|+2x﹣3，记f（x）≤﹣1的解集为M．

（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M时，证明：x[f（x）]²﹣x²f（x）≤0．

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