2015-2016学年广东省揭阳市普宁二中高一下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-15 类型：期中考试

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一、选择题

1. 若sinα•tanα＞0，则角α的终边在（）

A、第一象限 B、第四象限 C、第一或四象限 D、第二或三象限

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2. cos45°•cos15°+sin45°•sin15°=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（）

A、 $\vec{A B}$ = $\vec{O C}$ B、 $\vec{A B}$ ∥ $\vec{D E}$ C、 $| \vec{A D} | = | \vec{B E} |$ D、 $\vec{A D} = \vec{F C}$

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4. 函数y=2cos²（x﹣ $\frac{π}{4}$ ）﹣1是（）

A、最小正周期为π的奇函数 B、最小正周期为π的偶函数 C、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的奇函数 D、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的偶函数

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5. 下列四式中不能化简为 $\vec{A D}$ 的是（）

A、 $(\vec{A B} + \vec{C D}) + \vec{B C}$ B、 $(\vec{A B} + \vec{M B}) + (\vec{B C} + \vec{C M})$ C、 $(\vec{A D} + \vec{M B}) - \vec{B M}$ D、 $(\vec{O C} - \vec{O A}) + \vec{C D}$

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6. 为了得到函数y=2sin（2x+ $\frac{π}{6}$ ）的图象，只需把函数y=2sinx的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变） C、各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍，再把所得图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再把所得图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度

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7. 若P为△ABC所在平面内的一点，满足 $\vec{P A}$ + $\vec{P B}$ + $\vec{P C}$ = $\vec{A B}$ ，则点P的位置为（）

A、P在△ABC的内部 B、P在△ABC的外部 C、P在AB边所在的直线上 D、P在AC边所在的直线上

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8. 函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）

A、y=2sin（2x+ $\frac{2 π}{3}$ ） B、y=2sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ） C、y=2sin（ $\frac{x}{2}$ ﹣ $\frac{π}{3}$ ） D、y=2sin（2x﹣ $\frac{π}{3}$ ）

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9. 设a= $\frac{1}{2}$ cos6°﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ sin6°，b=2sin13°cos13°，c= $\sqrt{\frac{1 - \cos 50^{\circ}}{2}}$ ，则有（）

A、a＞b＞c B、a＜b＜c C、b＜c＜a D、a＜c＜b

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10. 已知θ∈（﹣ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{π}{2}$ ）且sinθ+cosθ=a，其中a∈（0，1），则tanθ的可能取值是（）

A、﹣3 B、3或 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、﹣3或 $- \frac{1}{3}$

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11. E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=（）

A、 $\frac{16}{27}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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12. 已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），如果存在实数x₁ ，使得对任意的实数x，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₁+2015）成立，则ω的最小值为（）

A、 $\frac{2 π}{2015}$ B、 $\frac{π}{2015}$ C、 $\frac{1}{2015}$ D、 $\frac{π}{4030}$

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二、填空题

13. 在△ABC中，cosA= $\sqrt{3}$ sinA，则A=

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14. 若| $\vec{O A}$ =| $\vec{O B}$ |=3，∠AOB=60°，则| $\vec{O A}$ + $\vec{O B}$ |=

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15. （1+tan17°）（1+tan28°）=

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16. 若函数f（x）=2sin（3x﹣ $\frac{3 π}{4}$ ），有下列结论：
①函数f（x）的图象关于点（ $\frac{7 π}{12}$ ，0）对称；
②函数f（x）的图象关于直线x= $\frac{5}{12}$ π对称；
③在x∈[ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{5}{12}$ π]为单调增函数．
则上述结论题正确的是．（填相应结论对应的序号）

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 6 \cos \frac{2 ω x}{2} + \sqrt{3} \sin ω x - 3 (ω > 0)$ ，在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）若 $f (x_{0}) = \frac{8 \sqrt{3}}{5}$ ，且 $x_{0} \in (- \frac{10}{3} ， \frac{2}{3})$ ，求f（x₀+1）的值．

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18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣ $\sqrt{3}$ sinA）cosB=0．

(1)、求角B的大小；

(2)、若a+c=1，求b的取值范围．

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19. f（x）=（ax²+x﹣1）e^x

(1)、当a＜0时，求f（x）的单调区间；

(2)、若a=﹣1，f（x）的图象与g（x）= $\frac{1}{3}$ x³+ $\frac{1}{2}$ x²+m的图象有3个不同的交点，求实数m的范围．

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20. 已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0．

(1)、求a取值范围；

(2)、设g（x）=f（x）﹣f′（x），求g（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

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21. 已知f（x）=xlnx，g（x）= $\frac{a x^{2}}{2}$ ，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2

(1)、函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值

(2)、若至少存在一个x₀∈[1，e]使f（x₀）＜g（x₀）成立，求实数a的取值范围

(3)、设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．

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