2017年广东省韶关市高考数学模拟试卷（理科）（1月份）

试卷更新日期：2017-03-15 类型：高考模拟

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一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合P={x∈R|0≤x≤3}，Q={x∈R|x²≥4}，则P∩（∁_RQ）=（）

A、[0，3] B、（0，2] C、[0，2） D、（0，3]

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2. 已知复数z=（t﹣1）+（t+1）i，t∈R，|z|的最小值是（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、3

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3. 已知 $f (x) = {\begin{matrix} f (x + 1) ， (x < 1) \\ 3^{x} ， (x \geq 1) \end{matrix}$ ，则f（﹣1+log₃5）=（）

A、15 B、 $\frac{5}{3}$ C、5 D、 $\frac{1}{5}$

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4. 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）

A、 $\frac{14}{15}$ B、 $\frac{13}{15}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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5. 等比数列{a_n}前n项和为S_n ，若S₂=6，S₄=30，则S₆=（）

A、62 B、64 C、126 D、128

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6. 已知点A是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a，b＞0）右支上一点，F是右焦点，若△AOF（O是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、1+ $\sqrt{2}$ D、1+ $\sqrt{3}$

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7. 执行如图所示的程序框图，则输出S=（）

A、 $\frac{5}{11}$ B、 $\frac{13}{9}$ C、 $\frac{16}{11}$ D、 $\frac{17}{9}$

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8. 若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 3 \leq 0 \\ x - 2 y - 3 \leq 0 \\ x \geq m \end{matrix}$ ，则实数m的最大值为（）

A、﹣1 B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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9. 四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P﹣ABCD的侧面积等于4（1+ $\sqrt{2}$ ），则该外接球的表面积是（）

A、4π B、12π C、24π D、36π

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10. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜2）的三个相邻交点的横坐标分别是 $\frac{π}{6}$ 、 $\frac{5 π}{6}$ 、 $\frac{7 π}{6}$ ，且函数f（x）在x= $\frac{3 π}{2}$ 处取得最小值，那么|φ|的最小值为（）

A、 $\frac{3 π}{2}$ B、π C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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11. 设M是圆O：x²+y²=9上动点，直线l过M且与圆O相切，若过A（﹣2，0），B（2，0）两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点F的轨迹方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{5}$ =1（y≠0） B、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{9}$ =1（y≠0） C、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5}$ =1（y≠0） D、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9}$ =1（y≠0）

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12. 已知不恒为零的函数f（x）在定义域[0，1]上的图象连续不间断，满足条件f（0）=f（1）=0，且对任意x₁ ， x₂∈[0，1]都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤ $\frac{1}{3}$ |x₁﹣x₂|，则对下列四个结论：
①若f（1﹣x）=f（x）且0≤x≤ $\frac{1}{2}$ 时，f（x）= $\frac{1}{20}$ x（x﹣ $\frac{1}{2}$ ），则当 $\frac{1}{2}$ ＜x≤1时，f（x）= $\frac{1}{20}$ （1﹣x）（ $\frac{1}{2}$ ﹣x）；
②若对∀x∈[0，1]都有f（1﹣x）=﹣f（x），则y=f（x）至少有3个零点；
③对∀x∈[0，1]，|f（x）|≤ $\frac{1}{6}$ 恒成立；
④对∀x₁ ， x₂∈[0，1]，|f（x₁）﹣f（x₂）|≤ $\frac{1}{6}$ 恒成立．
其中正确的结论个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 已知平面非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{b}$ •（ $\vec{a} + \vec{b}$ ）=1，且| $\vec{b}$ |=1，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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14. 在（1+x）•（1+2x）⁵的展开式中，x⁴的系数为（用数字作答）

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15. 正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱AD、DD₁的中点，若AB=4，则过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面面积S等于．

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16. 某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险、养路费、汽油费共1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用年报废最合算（即平均每年费用最少）．

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三、解答题：

17. 如图，在△ABC中，M是边BC的中点，tan∠BAM= $\frac{\sqrt{3}}{5}$ ，cos∠AMC=﹣ $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若角∠BAC= $\frac{π}{6}$ ，BC边上的中线AM的长为 $\sqrt{7}$ ，求△ABC的面积．

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18. 已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD
（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，当F是PC中点时，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．

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19. 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
（Ⅰ）视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求P（x≥120）
（Ⅱ）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；
（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如x∈[100，110），则取x=105，且x=105的概率等于市场需求量落入100，110）的频率），求T的分布列及数学期望E（T）．

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20. 设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0），椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x²+y²= $\frac{4}{3}$ 相切，且抛物线y²=﹣4 $\sqrt{2}$ x的准线恰好过椭圆C的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作圆的切线l与椭圆C交于A，B两点，连接PO并延长交圆O于点Q，求△ABQ面积的取值范围．

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21. 已知函数f（x）=ae^x（a≠0），g（x）=x²
（Ⅰ）若曲线c₁：y=f（x）与曲线c₂：y=g（x）存在公切线，求a最大值．
（Ⅱ）当a=1时，F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1，且F（2）=0，若F（x）在（0，2）内有零点，求实数b的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} \cos α \\ y = \sin α \end{matrix}$ （α为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣ $\frac{π}{4}$ ）=2 $\sqrt{2}$
（Ⅰ）将直线l化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标．

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23. 已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m∈R）
（I）当m=﹣1时，求不等式f（x）≤2的解集；
（II）设关于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集为A，且[ $\frac{3}{4}$ ，2]⊆A，求实数m的取值范围．

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