2017年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-15 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x|x²≤1}，B={x|x＜a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，1） B、（﹣∞，﹣1] C、（1，+∞） D、[1，+∞）

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2. 若复数z满足i•z= $\frac{1}{2}$ （1+i），则z的虚部是（）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ i B、 $\frac{1}{2}$ i C、﹣ $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（）

A、 $\frac{3 π}{10}$ B、 $\frac{π}{20}$ C、 $\frac{3 π}{20}$ D、 $\frac{π}{10}$

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4. 阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）

A、计算数列{2ⁿ^﹣¹}前5项的和 B、计算数列{2ⁿ﹣1}前5项的和 C、计算数列{2ⁿ^﹣¹}前6项的和 D、计算数列{2ⁿ﹣1}前6项的和

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5. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），直线x= $\frac{π}{6}$ 是它的一条对称轴，且（ $\frac{2 π}{3}$ ，0）是离该轴最近的一个对称中心，则φ=（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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6. 函数y= $\frac{x^{2} \ln | x |}{| x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（）

A、f（1）＜f（ $\frac{5}{2}$ ）＜f（ $\frac{7}{2}$ ） B、f（ $\frac{7}{2}$ ）＜f（1）＜f（ $\frac{5}{2}$ ） C、f（ $\frac{7}{2}$ ）＜f（ $\frac{5}{2}$ ）＜f（1） D、f（ $\frac{5}{2}$ ）＜f（1）＜f（ $\frac{7}{2}$ ）

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8. 已知等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n ， T_n ，若对于任意的自然数n，都有 $\frac{S_{n}}{T_{n}}$ = $\frac{2 n - 3}{4 n - 3}$ ，则 $\frac{a_{3} + a_{5}}{2 (b_{3} + b_{9})}$ + $\frac{a_{3}}{b_{2} + b_{10}}$ =（）

A、 $\frac{19}{41}$ B、 $\frac{17}{37}$ C、 $\frac{7}{15}$ D、 $\frac{20}{41}$

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9. 设e是自然对数的底，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，则“log_a2＞log_be”是“0＜a＜b＜1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 已知点F₁、F₂是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F₁F₂|=2|OP|，|PF₁|≥3|PF₂|，则双曲线C的离心率的取值范围为（）

A、（1，+∞） B、[ $\frac{\sqrt{10}}{2}$ ，+∞） C、（1， $\frac{\sqrt{10}}{2}$ ] D、（1， $\frac{5}{2}$ ]

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11. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} 3 x - 1 ， x < 1 \\ 2^{x} ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，则满足f（f（a））=2^f^（^a^）的a取值范围是（）

A、[ $\frac{2}{3}$ ，+∞） B、[ $\frac{2}{3}$ ，1] C、[1，+∞） D、[0，1]

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12. 如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x₁≠x₂ ，都有x_lf（x_l）+x₂f（x₂）≥x_lf（x₂）+x₂f（x_l），则称f（x）为“H函数”，给出下列函数：
①y=﹣x³+x+l；
②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；
③y=l﹣e^x；
④f（x）= ${\begin{matrix} \ln x (x \geq 1) \\ 0 (x < 1) \end{matrix}$ ；
⑤y= $\frac{x}{x^{2} + 1}$
其中“H函数”的个数有（）

A、3个 B、2个 C、l个 D、0个

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二、填空题

13. 已知两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为60°，则| $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ |= ．

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14. 实数x，y满足 ${\begin{matrix} y - 2 x \leq - 2 \\ y \geq 1 \\ x + y \leq 4 \end{matrix}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围是．

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15. 若（x²﹣a）（x+ $\frac{1}{x}$ ）¹⁰的展开式中x⁶的系数为30，则 $\int_{0}^{a}$ （3x²+1）dx= ．

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16. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} | x | ， x \leq m \\ x^{2} - 2 m + 4 m ， x > m \end{matrix}$ ，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $\sqrt{3}$ acosC=（2b﹣ $\sqrt{3}$ c）cosA．

(1)、求角A的大小；

(2)、求cos（ $\frac{5 π}{2}$ ﹣B）﹣2sin² $\frac{C}{2}$ 的取值范围．

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18. 数列{a_n}满足a₁=1，na_n₊₁=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^* ．
（Ⅰ）证明：数列{ $\frac{a_{n}}{n}$ }是等差数列；
（Ⅱ）设b_n=3ⁿ• $\sqrt{a_{n}}$ ，求数列{b_n}的前n项和S_n ．

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19. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．

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20. 设椭圆E的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ +y²=1（a＞1），O为坐标原点，直线l与椭圆E交于点A，B，M为线段AB的中点．

(1)、若A，B分别为E的左顶点和上顶点，且OM的斜率为﹣ $\frac{1}{2}$ ，求E的标准方程；

(2)、若a=2，且|OM|=1，求△AOB面积的最大值．

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21. 已知函数f（x）=xe^2x﹣lnx﹣ax．

(1)、当a=0时，求函数f（x）在[ $\frac{1}{2}$ ，1]上的最小值；

(2)、若∀x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；

(3)、若∀x＞0，不等式f（ $\frac{1}{x}$ ）﹣1≥ $\frac{1}{x}$ e $^{\frac{2}{x}}$ + $\frac{\frac{1}{e - 1} + \frac{1}{x}}{e^{\frac{x}{e}}}$ 恒成立，求a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2acosθ（a＞0），直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = - 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．

(1)、写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

(2)、若|AB|=2 $\sqrt{10}$ ，求a的值．

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23. 设函数f（x）=|x﹣a|+5x．

(1)、当a=﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；

(2)、若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．

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