2015-2016学年广东省揭阳市普宁一中高二下学期期中数学试卷+（理科）

试卷更新日期：2017-03-15 类型：期中考试

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一、选择题

1. 复数 $\frac{5}{1 - 2 i}$ （i为虚数单位）的虚部是（）

A、2i B、﹣2i C、﹣2 D、2

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2. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{2 - x}}$ ，B={x|x²﹣2x＜0}，则A∩B=（）

A、（0，2] B、（0，2） C、（﹣∞，2] D、（2，+∞）

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3. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）

A、f（x）=2^x B、f（x）=xsinx C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ D、f（x）=﹣x|x|

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4. 设双曲线 $\frac{y^{2}}{4}$ ﹣x²=1上的点P到点（0， $\sqrt{5}$ ）的距离为6，则P点到（0，﹣ $\sqrt{5}$ ）的距离是（　　）

A、2或10 B、10 C、2 D、4或8

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5. 下列有关命题说法正确的是（　　）

A、命题p：“∃x∈R，sinx+cosx= $\sqrt{2}$ ”，则¬p是真命题 B、“x=﹣1”是“x²﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C、命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0“的否定是：“∀x∈R，x²+x+1＜0” D、“a＞l”是“y=log_ax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - x ， x \leq 1 \\ \frac{1}{1 - x} ， x > 1 \end{matrix}$ 则f（f（﹣2））的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、- $\frac{1}{5}$ D、- $\frac{1}{2}$

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7. 2015年高中生技能大赛中三所学校分别有3名、2名、1名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{30}$ B、 $\frac{1}{15}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 执行如图所示的程序框图，若输出S的值是 $\frac{1}{2}$ ，则a的值可以为（）

A、2014 B、2015 C、2016 D、2017

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9. 若（x²﹣ $\frac{1}{x^{3}}$ ）ⁿ的展开式中存在常数项，则n可以为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、3π B、4π C、2π+4 D、3π+4

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11. $在 △ A B C 中， | \vec{B C} | = 8 ， | \vec{C A} | = 6 ， \vec{B A} \cdot \vec{C A}$ =60，则∠C=（）

A、60° B、30° C、150° D、120°

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12. 形如y= $\frac{b}{| x | - c}$ （c＞0，b＞0）的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数f（x）=log_a（x²+x+1）（a＞0，a≠1）有最小值，则当c，b的值分别为方程x²+y²﹣2x﹣2y+2=0中的x，y时的“囧函数”与函数y=log_a|x|的图象交点个数为（）

A、1 B、2 C、4 D、6

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二、填空题

13. 函数f（x）=x³﹣3x的极小值为．

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14. 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是 cm

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15. 已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，那么它的直角坐标方程是．

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16. 已知点P（x，y）的坐标满足条件 ${\begin{matrix} x \leq 1 \\ y \leq 2 \\ 2 x + y - 2 > 0 \end{matrix}$ ，那么（x+1）²+y²的取值范围为．

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三、解答题：

17. 在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 $\vec{m}$ =（cosA，sinA）， $\vec{n}$ =（ $\sqrt{2}$ ﹣sinA，cosA），若 $\vec{m}$ • $\vec{n}$ =1．

(1)、求角A的大小；

(2)、若b=4 $\sqrt{2}$ ，且c= $\sqrt{2}$ a，求△ABC的面积．

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18. 已知等差数列{a_n}满足a₃=7，a₅+a₇=26，数列{a_n}的前n项和S_n ．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n= $\frac{1}{a_{n}^{2} - 1}$ （n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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19. 有一批数量很大的产品，其次品率是10%．

(1)、连续抽取两件产品，求两件产品均为正品的概率；

(2)、对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过4次，求抽查次数ξ的分布列及期望．

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20. 如图，四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，EC⊥平面ABCD，AB= $\sqrt{2}$ ，CE=1，G为AC与BD交点，F为EG中点，
（Ⅰ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．

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21. 如图，椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（I）求椭圆E的方程；
（II）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），问直线AP与AQ的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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22. 已知函数f（x）=ax²﹣（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意x₁ ， x₂∈（0，+∞），当x₁≠x₂时有 $\frac{f (x_{1}) + 2 x_{1} - [f (x_{2}) + 2 x_{2}]}{x_{1} - x_{2}}$ ＞0恒成立，求a的取值范围．

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