2015-2016学年广东省江门市恩平一中高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-15 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知集合A={x|﹣3≤x≤1}，B={x|log₂x≤1}，则A∩B=（）

A、{x|﹣3≤x≤1} B、{x|0＜x≤1} C、{x|﹣3≤x≤2} D、{x|x≤2}

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2. 复数z满足z•i=3+4i，则z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 - t ， - 3 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， t ， - 2)$ ，t∈R，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的最小值是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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4. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + y - 2 \leq 0 \\ \begin{array}{l} 3 x - y - 3 \leq 0 \\ x \geq 0 \end{array} \end{matrix}$ ，则z=x﹣y的最小值为（）

A、﹣3 B、1 C、﹣2 D、2

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5. 下列说法不正确的是（）

A、“φ= $\frac{π}{2}$ ”是“函数y=sin（2x+ϕ）为偶函数”的充要条件 B、若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题 C、命题“∃x₀∈R，x₀²﹣x₀﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x²﹣x﹣1≥0” D、当a＜0时，幂函数y=x^a在（0，+∞）上是单调递减

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6. 设函数f（x）= $\frac{2}{x^{2}}$ +lnx，则（）

A、x=2为f（x）的极大值点 B、x=2为f（x）的极小值点 C、x= $\frac{1}{2}$ 为f（x）的极大值点 D、x= $\frac{1}{2}$ 为f（x）的极小值点

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7. 公差为1的等差数列{a_n}中，a₁ ， a₃ ， a₆成等比数列，则{a_n}的前10项和为（）

A、65 B、80 C、85 D、170

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8. 若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象过点（ $\frac{π}{6}$ ，1），则该函数图象的一条对称轴方程是（）

A、x= $\frac{π}{12}$ B、x= $\frac{5 π}{12}$ C、x= $\frac{π}{6}$ D、x= $\frac{π}{3}$

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9. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 直线y=4x与曲线y=x³在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）

A、4 $\sqrt{2}$ B、4 C、2 $\sqrt{2}$ D、2

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11. 已知F是抛物线y²=4x的焦点，P是抛物线上一点，延长PF交抛物线于点Q，若|PF|=5，则|QF|=（）

A、 $\frac{9}{8}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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12. 函数f（x）（x＞0）的导函数为f′（x），若xf′（x）+f（x）=e^x ，且f（1）=e，则（）

A、f（x）的最小值为e B、f（x）的最大值为e C、f（x）的最小值为 $\frac{1}{e}$ D、f（x）的最大值为 $\frac{1}{e}$

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二、填空题

13. 曲线y=e^x在点（2，e²）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为．

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14. △ABC三边的长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ，则 $\vec{C D} \cdot \vec{C E}$ = ．

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15. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为．

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16. 对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：2³=3+5，3³=7+9+11，4³=13+15+17+19，…，根据上述规律，10³的分解式中，最大的数是．

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三、解答题：

17. 已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin²B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a= $\sqrt{2}$ ，求△ABC的面积．

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18. 已知等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），等比数列{b_n}的公比为q，a₁=b₁=1，a₂=b₂ ， a₅=b₃ ．

(1)、求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；

(2)、若c_n=a_n•b_n ，求数列{c_n}的前n项和S_n ．

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19. 某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a}$ = $\bar{y}$ ﹣ $\hat{b}$ $\bar{t}$ ．

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20. 如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．

(1)、求证：AB⊥平面PCB；

(2)、求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．

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21. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的上顶点为P（0，1），过E的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆E上，该菱形对角线BD所在直线的斜率为﹣1．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、当直线BD过点（1，0）时，求直线AC的方程；

(3)、当∠ABC= $\frac{π}{3}$ 时，求菱形ABCD面积的最大值．

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22. 已知a∈R，函数f（x）=x²（x﹣a）．

(1)、若函数f（x）在区间 $(0 ， \frac{2}{3})$ 内是减函数，求实数a的取值范围；

(2)、求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）．

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年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9