2015-2016学年广东省东莞市四校联考高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-15 类型：期中考试

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一、选择题：

1. 复数z=﹣2+2i，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、2i B、﹣2i C、2 D、﹣2

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2. 要证明 $\sqrt{3}$ + $\sqrt{7}$ ＜2 $\sqrt{5}$ ，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（　　）

A、综合法 B、分析法 C、反证法 D、归纳法

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3. 现有5名同学去听同时进行的6个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）

A、5⁴ B、6⁵ C、 $\frac{5 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{2}$ D、6×5×4×3×2

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4. 设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z在复平面内对应的点在（）

A、第四象限 B、第三象限 C、第二象限 D、第一象限

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5. 已知f（x）=asin2x﹣ $\frac{1}{3}$ sin3x（a为常数），在x= $\frac{π}{3}$ 处取得极值，则a=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、- $\frac{1}{2}$

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6. 把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为（）

A、 $A_{8}^{8}$ B、 $A_{8}^{5}$ C、 $A_{4}^{4} A_{4}^{4}$ D、 $A_{5}^{5} A_{4}^{4}$

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7. 已知f（n）= $\frac{1}{n + 1}$ + $\frac{1}{n + 2}$ + $\frac{1}{n + 3}$ +…+ $\frac{1}{3 n + 1}$ ，则f（k+1）等于（）

A、f（k）+ $\frac{1}{3 (k + 1) + 1}$ B、f（k）+ $\frac{2}{3 k + 2}$ C、f（k）+ $\frac{1}{3 k + 2}$ + $\frac{1}{3 k + 3}$ + $\frac{1}{3 k + 4}$ ﹣ $\frac{1}{k + 1}$ D、f（k）+ $\frac{1}{3 k + 4}$ ﹣ $\frac{1}{k + 1}$

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8. 已知f（x）= $\frac{1}{3} x^{3}$ +2xf′（1），则f′（1）等于（）

A、0 B、﹣1 C、2 D、1

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9. 函数 $y = \frac{\ln x}{x}$ 的最大值为（）

A、e^﹣¹ B、e C、e² D、 $\frac{10}{3}$

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10. 已知f（n）=1+ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ +…+ $\frac{1}{n}$ （n∈N^*），计算得f（2）= $\frac{3}{2}$ ，f（4）＞2，f（8）＞ $\frac{5}{2}$ ，f（16）＞3，f（32）＞ $\frac{7}{2}$ ，由此推算：当n≥2时，有（）

A、f（2n）＞ $\frac{2 n + 1}{2}$ （n∈N^*） B、f（2n）＞ $\frac{2 (n + 1) - 1}{2}$ （n∈N^*） C、f（2ⁿ）＞ $\frac{2 n + 1}{2}$ （n∈N^*） D、f（2ⁿ）＞ $\frac{n + 2}{2}$ （n∈N^*）

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11. 设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 设D是函数y=f（x）定义域内的一个子区间，若存在x₀∈D，使f（x₀）=﹣x₀ ，则称x₀是f（x）的一个“开心点”，也称f（x）在区间D上存在开心点．若函数f（x）=ax²﹣2x﹣2a﹣ $\frac{3}{2}$ 在区间[﹣3，﹣ $\frac{3}{2}$ ]上存在开心点，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，0） B、[﹣ $\frac{1}{4}$ ，0] C、[﹣ $\frac{3}{14}$ ，0] D、[﹣ $\frac{3}{14}$ ，﹣ $\frac{1}{4}$ ]

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二、填空题：

13. 已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．

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14. 从0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为．（用数字作答）

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15. 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r= $\frac{2 S}{a + b + c}$ ；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄ ，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r= ．

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三、解答题：

16. 已知复数Z=（m²+5m+6）+（m²﹣2m﹣15）i，当实数m为何值时：

(1)、Z为实数；

(2)、Z为纯虚数；

(3)、复数Z对应的点Z在第四象限．

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17. 快毕业了，7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？（每题都要用数字作答）

(1)、两名女生必须相邻而站；

(2)、4名男生互不相邻；

(3)、若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．

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18. 已知函数f（x）= $\frac{1}{2} x^{2}$ ﹣5x+4lnx．

(1)、求函数f（x）的单调区间；

(2)、求函数f（x）的极值．

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19. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，且对任意的n∈N^*都有S_n=2a_n﹣n，

(1)、求数列{a_n}的前三项a₁ ， a₂ ， a₃；

(2)、猜想数列{a_n}的通项公式a_n ，并用数学归纳法证明；

(3)、求证：对任意n∈N^*都有 $\frac{1}{a_{2} - a_{1}} + \frac{1}{a_{3} - a_{2}} + \frac{1}{a_{4} - a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n + 1} - a_{n}} < 1$ ．

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20. 若函数f（x）=ax³﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为 $- \frac{4}{3}$ ，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{1 - x}{a x}$ +lnx在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．

(1)、求a的取值范围；

(2)、求函数g（x）=ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值；

(3)、设a＞1，b＞0，求证： $\frac{1}{a + b} < \ln \frac{a + b}{b} < \frac{a}{b}$ ．

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