广东省深圳市2017届高三下学期第一次调研考试（一模）文数试题

试卷更新日期：2017-03-15 类型：月考试卷

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一、选择题

1. 若集合 $A = {2 ， 4 ， 6 ， 8} ， B = {x | x^{2} - 9 x + 18 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${4 ， 6}$ C、 ${6 ， 8}$ D、 ${2 ， 8}$

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2. 若复数 $\frac{a + i}{1 + 2 i} (a \in R)$ 为纯虚数，其中 $i$ 为虚数单位，则 $a =$ （）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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3. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 设 $a = {0.2}^{3}, b = \log_{0.3} 0.2, c = \log_{3} 0.2$ ，则 $a, b, c$ 大小关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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5. $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\cos C = \frac{1}{4} ， a = 1 ， c = 2$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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6. 若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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7. 将函数 $y = \sin (6 x + \frac{π}{4})$ 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位，得到的函数的一个对称中心是（）

A、 $(\frac{π}{2}, 0)$ B、 $(\frac{π}{4}, 0)$ C、 $(\frac{π}{9}, 0)$ D、 $(\frac{π}{16}, 0)$

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8. 函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 1}{2^{x} - 1} \cdot \cos x$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9.
祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为 h(0<h<2) 的平面截该几何体，则截面面积为（）

A、 $4 π$ B、 $π h^{2}$ C、 $π {(2 - h)}^{2}$ D、π（4-h²）

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10. 执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（）

A、335 B、336 C、337 D、338

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11. 已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，球 $O$ 与该正方体的各个面相切，则平面 $A C B_{1}$ 截此球所得的截面的面积为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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12. 若 $f (x) = \sin^{3} x + a \cos^{2} x$ 在 $(0, π)$ 上存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3}{2})$ B、 $(0, \frac{3}{2}]$ C、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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二、填空题

13. 已知向量 $p = (1, 2), q = (x, 3)$ ，若 $p ⊥ q$ ，则 $| p + q | =$ ．

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14. 已知 $α$ 是锐角，且cos（ $\partial$ + $\frac{π}{6}$ ）= $\frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α - \frac{π}{3}) =$ ．

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15. 直线 $a x - y + 3 = 0$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 4$ 相交于 $M 、 N$ 两点，若 $| M N | \geq 2 \sqrt{3}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 若实数 $x, y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} x + y - 4 \leq 0 \\ 2 x - 3 y - 8 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{matrix}$ ，目标函数 $z = k x - y$ 的最大值为12，最小值为0，则实数 $k =$ ．

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三、解答题

17. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = 2 a_{n} - n + 1 (n \in N^{*}), b_{n} = a_{n} + 1$ ．

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${n b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18.
如图，四边形 $A B C D$ 为菱形，四边形 $A C E F$ 为平行四边形，设 $B D$ 与 $A C$ 相交于点 $G$ ， $A B = B D = 2 ， A E = \sqrt{3} ， ∠ E A D = ∠ E A B$ ．

(1)、证明：平面 $A C E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $∠ E A G = 60^{0}$ ，求三棱锥 $F - B D E$ 的体积．

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19. 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.

(1)、求某户居民用电费用 $y$ （单位：元）关于月用电量 $x$ （单位：度）的函数解析式；

(2)、
为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求 $a ， b$ 的值；

(3)、在满足（2）的条件下，估计1月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．

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20. 已成椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．其右顶点与上顶点的距离为 $\sqrt{5}$ ，过点 $P (0, 2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A 、 B$ 两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $M$ 是 $A B$ 中点，且 $Q$ 点的坐标为 $(\frac{2}{5}, 0)$ ，当 $Q M ⊥ A B$ 时，求直线 $l$ 的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = (a x + 1) \ln x - a x + 3 ， a \in R ， g (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $e$ 为自然对数的底数．

(1)、讨论 $g (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > e$ 时，证明： $g (e^{- a}) > 0$ ；

(3)、当 $a > e$ 时，判断函数 $f (x)$ 零点的个数，并说明理由．

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22. 在直角坐标系中 $x O y$ 中，曲线 $E$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 \cos α \\ y = \sqrt{3} \sin α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、写出曲线 $E$ 的普通方程和极坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $E$ 相交于点 $A 、 B$ 两点，且 $O A ⊥ O B$ ，求证： $\frac{1}{{| O A |}^{2}} + \frac{1}{{| O B |}^{2}}$ 为定值，并求出这个定值．

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23. 已知 $f (x) = | x + a |, g (x) = | x + 3 | - x$ ．

(1)、当 $a = 1$ ，解不等式 $f (x) < g (x)$ ；

(2)、对任意 $x \in [- 1, 1], f (x) < g (x)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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