广东省惠州市惠东县惠东荣超中学2017-2018学年高二下学期理数第二次段考试试卷

试卷更新日期：2018-10-31 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 5} ， B = {x | x^{2} - 2 x - 8 < 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $(- 2 ， 4)$ B、 $(4 ， 5)$ C、 $(- 2 ， 5)$ D、 $(0 ， 4)$

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2. 设复数 $z$ 满足 $（ 1 + z) i = 1 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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3. 设 $p$ ： $0 < x < 1$ ， $q$ ： $2^{x} \geq 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 从 $7$ 名同学（其中 $4$ 男 $3$ 女）中选出 $4$ 名参加环保知识竞赛，若这 $4$ 人中必须既有男生又有女生，则不同选法的种数为（）

A、 $34$ B、 $31$ C、 $28$ D、 $25$

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5. 执行如图所示的程序框图，若输出的 $S = 2$ ，则判断框内可以填入（）

A、 $i < 5$ B、 $i < 6$ C、 $i < 7$ D、 $i < 8$

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6. 已知 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 1 \\ x + y \leq 3 \\ x - y \leq 3 \end{matrix}$ ，则 $z = \frac{1}{2} x + y$ 的最大值为（）

A、2 B、0 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $16 + 8 π$ B、 $8 + 8 π$ C、 $16 + 16 π$ D、 $8 + 16 π$

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8. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{5}$ 的等比中项，则 $a_{7} =$ （）

A、12 B、13 C、14 D、15

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9. 函数 $y = lncos x (- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2})$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球 $O$ 的球面上，球 $O$ 的表面积是（）

A、 $2 π$ B、 $4 π$ C、 $8 π$ D、 $16 π$

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11. 若方程 $x^{3} - 3 x + m = 0$ 在 $[0 ， 2]$ 上有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[0 ， 2]$ C、 $[- 2 ， 0]$ D、 $(- \infty ， - 2)$ ∪ $(2 ， + \infty)$

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12. 将函数 $y = sin 2 x - \sqrt{3} cos 2 x$ 的图象向左平移 $φ (0 < φ \leq \frac{π}{2})$ 个单位长度后得到 $f (x)$ 的图象.若 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减，则φ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ B、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ C、 $[\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{12}]$ D、 $[\frac{π}{6} ， \frac{5 π}{12}]$

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二、填空题

13. 已知 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 3$ ， $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 的夹角为60°，则 $| 2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | =$ .

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14. $(x - y) {(x + y)}^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{7}$ 的系数为.（用数字填写答案）

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15. 定积分 $\int_{- 1}^{1} (| x | - 1) d x$ 的值为.

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16. 设等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{3} = 10 ， a_{2} + a_{4} = 5$ ，则 $a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 在 $Δ Α Β C$ 中，角 $Α$ ， $Β$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\sqrt{3} a \cos C - c \sin Α = 0$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、已知 $b = 4$ ， ΔΑΒC的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求边长 $c$ 的值．

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18. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和 $(n \in N^{*})$ ，且 $a_{3} = 5 ， S_{3} = 9.$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} .$

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19. 通过对某城市一天内单次租用共享自行车的时间 $50$ 分钟到 $100$ 钟的 $n$ 人进行统计，按照租车时间 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100)$ 分组做出频率分布直方图，并作出租用时间和茎叶图（图中仅列出了时间在 $[50 ， 60)$ ， $[90 ， 100)$ 的数据）．

(1)、求 $n$ 的频率分布直方图中的 $x ， y$ ；

(2)、从租用时间在 $80$ 分钟以上（含 $80$ 分钟）的人数中随机抽取 $4$ 人，设随机变量 $X$ 表示所抽取的 $4$ 人租用时间在 $[80 ， 90)$ 内的人数，求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望．

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20. 如图，四棱锥P-ABCD的底面 $A B C D$ 为菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，PA=AB=2，E，F分别为CD，PB的中点， $A E = \sqrt{3}$ ．
（Ⅰ）求证：平面 $A E F ⊥$ 平面PAB．
（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．

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21. 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子 $500$ 米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造了中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子 $500$ 米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过 $4$ 个直道与弯道的交接口 $A_{k} (k = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ .已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，摔倒的概率均为 $\frac{1}{4}$ .假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，现在用 $X$ 表示该运动员滑行最后一圈时在这一圈内已经顺利通过的交接口数.

(1)、求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过 $3$ 个交接口的概率；

(2)、求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ .

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22. 已知函数 $f (x) = a (x - \frac{1}{x}) - 2 ln x (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、设函数 $g (x) = - \frac{a}{x}$ ．若至少存在一个 $x_{0} \in [1 ， e]$ ，使得 $f (x_{0}) > g (x_{0})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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