2017高考数学备考复习易错题十一：圆锥曲线与方程

试卷更新日期：2017-03-14 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是 $\sqrt{3}$ ，则双曲线C的方程为（）

A、x²﹣ $\frac{y^{2}}{3}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{3}$ ﹣y²=1 C、 $\frac{x^{2}}{\sqrt{3}}$ ﹣y²=1 D、x²﹣ $\frac{y^{2}}{9}$ =1

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2. 设圆（x+1）²+y²=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）

A、 $\frac{4 x^{2}}{21} - \frac{4 y^{2}}{25} = 1$ B、 $\frac{4 x^{2}}{21} + \frac{4 y^{2}}{25} = 1$ C、 $\frac{4 x^{2}}{25} - \frac{4 y^{2}}{21} = 1$ D、 $\frac{4 x^{2}}{25} + \frac{4 y^{2}}{21} = 1$

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3. 圆心在曲线y= $\frac{1}{4}$ x²（x＜0）上，并且与直线y=﹣1及y轴都相切的圆的方程是（）

A、（x+2）²+（y﹣1）²=2 B、（x﹣1）²+（y﹣2）²=4 C、（x﹣2）²+（y﹣1）²=4 D、（x+2）²+（y﹣1）²=4

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4. 已知 $F$ 是双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，过点 $F$ 作 $E$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ，线段 $P F$ 与 $E$ 相交于点 $Q$ ，记点 $Q$ 到 $E$ 的两条渐近线的距离之积为 $d^{2}$ ，若 $| F P | = 2 d$ ，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 3 D、4

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5. 已知O为坐标原点，双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b} = 1 (b > 0)$ 上有一点P，过点P作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{17}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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6. 已知抛物线y²=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）

A、x=1 B、x=﹣1 C、x=2 D、x=﹣2

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7. 已知双曲线y²﹣ $\frac{x^{2}}{2}$ =1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k₁ ，直线OP的斜率为k₂ ，则k₁k₂=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、2 D、﹣2

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8. 已知离心率e= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 的双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O、A两点，若△AOF的面积为1，则实数a的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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9. 已知F₁、F₂是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P是双曲线C上一点，且|PF₁|+|PF₂|=6a，△PF₁F₂的最小内角为30°，则双曲线C的离心率e为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3}$ $\sqrt{3}$

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10. 已知两点F₁（﹣2，0），F₂（2，0），且|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{16}$ + $\frac{y^{2}}{9}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{16}$ + $\frac{y^{2}}{12}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{3}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{3}$ + $\frac{y^{2}}{4}$ =1

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11. 已知椭圆C经过点（1，0），（0，2），则椭圆C的标准方程为（）

A、x²+ $\frac{y^{2}}{2}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{2}$ +y²=1 C、x²+ $\frac{y^{2}}{4}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{4}$ +y²=1

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12. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} - 1$ 右焦点的直线l被圆x²+（y+2）²=9截得弦长最长时，则直线l的方程为（）

A、x﹣y+2=0 B、x+y﹣2=0 C、x﹣y﹣2=0 D、x+y+2=0

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二、填空题

13. 已知抛物线C：y²=4x，焦点为F，过点P（﹣1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若 $\frac{| A F |}{| F M |}$ + $\frac{| A F |}{| F N |}$ =18，则k= ．

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14. 如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为．

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15. 若双曲线x²﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的一个焦点到其渐近线的距离为2 $\sqrt{2}$ ，则该双曲线的焦距等于．

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16. 等轴双曲线C：x²﹣y²=a²与抛物线y²=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4 $\sqrt{3}$ ，则双曲线C的实轴长等于

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三、综合题

17. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．

(1)、若l的倾斜角为 $\frac{π}{2}$ ， $△ F_{1} A B$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

(2)、设 $b = \sqrt{3}$ ，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．

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18. 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣ $\sqrt{3}$ =0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求M的方程

(2)、C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

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19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F₁ ， F₂分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF₂并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F₁C．

(1)、若点C的坐标为（ $\frac{4}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ），且BF₂= $\sqrt{2}$ ，求椭圆的方程；

(2)、若F₁C⊥AB，求椭圆离心率e的值．

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20. 如图，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，点D在椭圆上．DF₁⊥F₁F₂ ， $\frac{| F_{1} F_{2} |}{| D F_{1} |}$ =2 $\sqrt{2}$ ，△DF₁F₂的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．

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21. 已知点F₁、F₂为双曲线C：x²﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF₁F₂=30°．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P₁、P₂ ，求 $\vec{P P_{1}} \cdot \vec{P P_{2}}$ 的值．

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2017高考数学备考复习 易错题十一：圆锥曲线与方程

一、单选题

二、填空题

三、综合题

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