浙江省杭州市西湖区绿城育华2017-2018学年八年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2018-10-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 给出下面 $5$ 个式子：① $3 > 0$ ；② $4 x + 3 y \neq 0$ ；③ $x = 3$ ；④ $x - 1$ ；⑤ $x + 2 \leq 3$ ，其中不等式有（）．

A、 $2$ 个 B、 $3$ 个 C、 $4$ 个 D、 $5$ 个

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2. 下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（）．

A、 $2$ ， $3$ ， $4$ B、 $5$ ， $7$ ， $7$ C、 $5$ ， $6$ ， $12$ D、 $6$ ， $8$ ， $10$

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3. 对应命题“若 $a^{2} < b^{2}$ ，则 $a > b$ ”，下面四组 $a$ ， $b$ 的值中，能说明这个命题是假命题的是（）．

A、 $a = 3$ ， $b = 2$ B、 $a = - 3$ ， $b = 2$ C、 $a = 3$ ， $b = - 1$ D、 $a = - 1$ ， $b = 3$

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4. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，以直线 $l_{1}$ 上的点 $A$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 于点 $B$ 、 $C$ ，连接 $A C$ 、 $B C$ ．若 $∠ A B C = 67 °$ ，则 $∠ 1 =$ （）．

A、 $23 °$ B、 $46 °$ C、 $67 °$ D、 $78 °$

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5. 如图 $1$ ，已知 $△ A B C$ 的六个元素，则图 $2$ 甲、乙、丙三个三角形中和图 $1$ $△ A B C$ 全等的图形是（）．

A、甲乙 B、丙 C、乙丙 D、乙

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6. 已知下列命题：
①若 $\frac{a}{b} > 1$ ，则 $a > b$ ；②若 $a + b = 0$ ，则 $| a | = | b |$ ；③有两条边及一个角对应相等的两个三角形全等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中是真命题的个数是（）．

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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7. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（）

A、0.7米 B、1.5米 C、2.2米 D、2.4米

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8. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $G$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上，点 $E$ ， $F$ 在边 $B C$ 上，已知 $D G ∥ B C$ ， $D E ∥ F G$ ， $B E = D E$ ， $C F = F G$ ，则 $∠ A$ 的度数（）．

A、等于 $90 °$ B、等于 $80 °$ C、等于 $72 °$ D、条件不足，无法计算

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9. 如图， $D$ 为等边 $△ A B C$ 内一点， $D B = D A$ ， $B F = A B$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，则 $∠ B F D$ 的度数为（）．

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $30 °$ D、 $45 °$

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10. 如图在 $△ A B C$ 中， $P$ ， $Q$ 分别是 $B C$ 、 $A C$ 上的点，作 $P R ⊥ A B$ ， $P S ⊥ A C$ ，垂足分别是 $R$ ， $S$ ， $A Q = P Q$ ， $P R = P S$ ，下面三个结论：① $A S = A R$ ；② $P Q ∥ A B$ ；③ $△ B R P$ ≌ $△ C S P$ ．其中正确的是（）．

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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二、填空题

11. 请写出一个解集为 $x > 2$ 的不等式．

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12. 命题“相等的角是对顶角”的逆命题是．

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13. 如图，在锐角 $△ A B C$ 中， $∠ A = 50 °$ ， $C E$ ， $B D$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 边上的高，且 $C E$ ， $B D$ 交于点 $P$ ，则 $∠ B P C =$ 度．

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14. 如图，已知 $△ A B C$ 的周长是 $21$ ， $O B$ ， $O C$ 分别平分 $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ ， $O D ⊥ B C$ 于 $D$ ，且 $O D = 4$ ， $△ A B C$ 的面积是．

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15. 两张完全相同的纸片，每张都分成 $7$ 个完全相同的矩形，放置如图，重合的顶点记作 $A$ ，顶点 $C$ 在另一张纸的分隔线 $D E$ 上，若 $B C = \sqrt{28}$ ，则 $A B$ 的长是．

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16. 如图，是一张长方形纸片 $A B C D$ ，已知 $A B = 8$ ， $B C = 7$ ， $E$ 为边 $A B$ 上一点， $A E = 5$ ，现在要剪下一张等腰三角形纸片（ $△ A E P$ ），要使点 $P$ 落在长方形 $A B C D$ 的某一边上，则 $△ A E P$ 的底边长为．

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三、解答题

17. 解不等式 $10 - 3 (x + 6) \geq 1$ ，并在数轴上表示不等式的解集．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 36 °$ ．

(1)、尺规作图：作线段 $A C$ 的垂直平分线交 $A B$ 于 $D$ ，交 $A C$ 于 $E$ ．

(2)、连结 $C D$ ，求证： $C D$ 平分 $A C B$ ．

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19. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 $1$ ，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．

(1)、画一个三角形，使它的三边长都是有理数．

(2)、画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数．

(3)、画出与 $△ A B C$ 成轴对称且与 $△ A B C$ 有公共点的格点三角形（画出一个即可）．

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20. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D C E$ 都是等边三角形，点 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的一点，连接 $A D$ ， $B E$ ．

(1)、求证： $A D = B E$ ．

(2)、求 $A D$ 、 $B E$ 所夹锐角的度数，并写出推理过程．

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21. 已知 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ， $D$ 为 $B C$ 上一点， $E$ 为 $A C$ 上一点， $A D = A E$ ．

(1)、如果 $∠ B A D = 10 °$ ， $∠ D A E = 30 °$ ，那么 $∠ E D C =$ $°$ ．

(2)、如果 $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ A D E = 70 °$ ，那么 $∠ B A D =$ $°$ ， $∠ C D E =$ $°$ ．

(3)、设 $∠ B A D = α$ ， $∠ C D E = β$ 猜想 $α$ ， $β$ 之间的关系式，并说明理由．

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22. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为点 $D$ ， $B E ⊥ A C$ ，垂足为点 $E$ ， $M$ 为 $A B$ 边的中点，连结 $M E$ 、 $M D$ 、 $E D$ ．

(1)、猜想 $△ M E D$ 的形状，并说明理由．

(2)、若 $A B = 4$ ， $∠ D B E = 30 °$ ，求 $△ M E D$ 的面积．

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23. 问题背景
如图 $1$ ，在正方形 $A B C D$ 的内部，作 $∠ D A E = ∠ A B F = ∠ B C G = ∠ C D H$ ，根据三角形全等的条件，易得 $△ D A E$ ≌ $△ A B F$ ≌ $△ B C G$ ≌ $△ C D H$ ，从而得到四边形 $E F G H$ 是正方形．
类比探究
如图 $2$ ，在正 $△ A B C$ 的内部，作 $∠ B A D = ∠ C B E = ∠ A C F$ ， $A D$ ， $B E$ ， $C F$ 两两相交于 $D$ ， $E$ ， $F$ 三点（ $D$ ， $E$ ， $F$ 三点不重合）．

(1)、 $△ A B D$ ， $△ B C E$ ， $△ C A F$ 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．

(2)、 $△ D E F$ 是否为正三角形？请说明理由．

(3)、进一步探究发现，图 $2$ 中的 $△ A B D$ 的三边存在一定的等量关系，设 $B D = a$ ， $A D = b$ ， $A B = c$ ，请探索 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足的等量关系．

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