2015-2016学年江西省南昌市四校联考高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数（1+a•i）²（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）

A、±1 B、﹣1 C、0 D、1

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2. 空间中，设m，n表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题正确的是（）

A、若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B、若m⊥α，m⊥β，则α∥β C、若m⊥β，α⊥β，则m∥α D、若n⊥m，n⊥α，则m∥α

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3. 如图所示的算法框图输出的结果为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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4. 如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点，若 $\vec{A_{1} B_{1}}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}}$ = $\vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A}$ = $\vec{c}$ ．则下列向量中与 $\vec{B_{1} M}$ 相等的向量是（）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ + $\frac{1}{2} \vec{b}$ + $\vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、﹣ $\frac{1}{2} \vec{a}$ ﹣ $\frac{1}{2} \vec{b}$ + $\vec{c}$

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5. 直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA₁ ，则异面直线BA₁与AC₁所成的角等于（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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6. 已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ=m，β∩γ=n．那么（）

A、若m⊥n，则α⊥β B、若α⊥β，则m⊥n C、若m∥n，则α∥β D、若α∥β，则m∥n

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7. 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a、b，则椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1 （a＞b＞0）的离心率e= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{18}$ B、 $\frac{5}{36}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m₁和n₁ ，给出下列四个命题：
①m₁⊥n₁⇒m⊥n；
②m⊥n⇒m₁⊥n₁
③m₁与n₁相交⇒m与n相交或重合
④m₁与n₁平行⇒m与n平行或重合
其中不正确的命题个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 如图，正方体中，两条异面直线BC₁与CD₁所成的角是（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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10. 函数f（x）= $\frac{1}{2}$ e^x（sinx+cosx）在区间[0， $\frac{π}{2}$ ]上的值域为（）

A、[ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ e $^{\frac{π}{2}}$ ] B、（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ e $^{\frac{π}{2}}$ ） C、[1，e $^{\frac{π}{2}}$ ] D、（1，e $^{\frac{π}{2}}$ ）

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11. 设抛物线y²=4x的焦点为F，过点M（﹣1，0）的直线在第一象限交抛物线于A，B，使 $\vec{A F} \cdot \vec{B F} = 0$ ，则直线AB的斜率k=（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12. 已知几何体的三视图如图所示，它的侧面积是（）

A、4+ $\sqrt{2}$ B、2+ $\sqrt{2}$ C、3+ $\sqrt{2}$ D、6

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二、填空题

13. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 和椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为．

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14. 一个五面体的三视图如图所示，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为．

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15. 方程x²+y²+kx+2y+k²=0表示的圆面积最大时，圆心坐标是．

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16. 三棱锥S﹣ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中：
①异面直线SB与AC所成的角为90°；
②直线SB⊥平面ABC；
③面SBC⊥面SAC；
④点C到平面SAB的距离是 $\frac{1}{2} a$ ．
其中正确结论的序号是．

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三、解答题

17. 已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，求这个圆锥的体积．

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18. 设l为曲线C：y= $\frac{\ln x}{x}$ 在点（1，0）处的切线．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．

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19. 已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁ ， O是底ABCD对角线的交点．求证：

(1)、C₁O∥面AB₁D₁；

(2)、面BDC₁∥面AB₁D₁ ．

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20. 过直线x=﹣2上的动点P作抛物线y²=4x的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

(1)、若切线PA，PB的斜率分别为k₁ ， k₂ ，求证：k₁k₂为定值；

(2)、求证：直线AB恒过定点．

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21. 四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=2，AD=4，PA⊥底面ABCD，PD与底面ABCD成30°角，E是PD的中点．

(1)、点H在AC上且EH⊥AC，求 $\vec{E H}$ 的坐标；

(2)、求AE与平面PCD所成角的余弦值．

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22. 把正方形AA₁B₁B以边AA₁所在直线为轴旋转90⁰到正方形AA₁C₁C，其中D，E，F分别为B₁A，C₁C，BC的中点．

(1)、求证：DE∥平面ABC；

(2)、求证：B₁F⊥平面AEF；

(3)、求二面角A﹣EB₁﹣F的大小．

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