2017年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-10 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）

A、A∩B=∅ B、∁_AB=B C、A⊆B D、B $\overset{\subset}{\neq}$ A

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2. ${(x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式的所有二项式系数之和为128，则n为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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3. 对于命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0，则￢p是（）

A、￢p：∀x∈R，x²+x+1＞0 B、￢p：∃x∈R，x²+x+1≠0 C、￢p：∀x∈R，x²+x+1≥0 D、￢p：∃x∈R，x²+x+1＜0

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4. 三位男同学两位女同学站成一排，女同学不站两端的排法总数为（）

A、6 B、36 C、48 D、120

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5. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2015} - 1$ C、 $\sqrt{2016} - 1$ D、 $\sqrt{2017} - 1$

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6. 已知复数z=x+yi（x，y∈R）满足 $| \bar{z} | \leq 1$ ，则y≥x﹣1的概率为（）

A、 $\frac{3}{4} - \frac{1}{2 π}$ B、 $\frac{1}{4} - \frac{1}{2 π}$ C、 $\frac{3}{4} + \frac{1}{2 π}$ D、 $\frac{1}{4} + \frac{1}{2 π}$

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7. 曲线 $y = \ln x - \frac{2}{x}$ 在x=1处的切线的倾斜角为α，则cosα+sinα的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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8. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} - 1$ 右焦点的直线l被圆x²+（y+2）²=9截得弦长最长时，则直线l的方程为（）

A、x﹣y+2=0 B、x+y﹣2=0 C、x﹣y﹣2=0 D、x+y+2=0

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9. 如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{3}{2} π$ B、 $\sqrt{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ D、3π

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10. 若 $a = 2^{\frac{π}{8}}$ ， ${(\frac{1}{2})}^{b} = \log_{\frac{1}{π}} b$ ， $c = \log_{2} \sin \frac{π}{3}$ ，则（）

A、a＞b＞c B、b＞a＞c C、c＞a＞b D、b＞c＞a

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11. 函数f（x）= ${\begin{matrix} x^{2} + a x - b (x > 0) \\ 0 (x = 0) \\ g (x) (x < 0) \end{matrix}$ 在区间（a+ $\frac{4}{a}$ ，﹣b²+4b）上满足f（﹣x）+f（x）=0，则g（﹣ $\sqrt{2}$ ）的值为（）

A、﹣2 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、﹣ $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 如图，由于函数f（x）=sin（π﹣ωx）sin（ $\frac{π}{2}$ +φ）﹣sin（ωx+ $\frac{3 π}{2}$ ）sinφ（ω＞0）的图象部分数据已污损，现可以确认点C（ $\frac{5 π}{2}$ ，0），其中A点是图象在y轴左侧第一个与x轴的交点，B点是图象在y轴右侧第一个最高点，则f（x）在下列区间中是单调的（）

A、（0， $\frac{5 π}{8}$ ） B、（ $\frac{5 π}{8}$ ， $\frac{5 π}{3}$ ） C、（ $\frac{5 π}{3}$ ，2π） D、（ $\frac{5 π}{3}$ ， $\frac{5 π}{2}$ ）

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二、填空题

13. A公司有职工代表40人，B公司有职工代表60人，用分层抽样的方法在这两个公司的职工代表中选取10人，则A公司应该选取人．

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14. 中国古代数学名著《算法统宗》中，许多数学问题都是以诗歌的形式呈现，其中一首诗可改编如下：“甲乙丙丁戊，酒钱欠千文，甲兄告乙弟，三百我还与，转差十几文，各人出怎取？”意为：五兄弟，酒钱欠千文，甲还三百，甲乙丙丁戊还钱数依次成等差数列，在这个问题中丁该还文钱．

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15. 如图，已知正方形OABC边长为3，点M，N分别为线段BC，AB上一点，且2BM=MC，AN=NB，P为△BNM内一点（含边界），设 $\vec{O P} = λ \vec{O A} + μ \vec{O C}$ （λ，μ为实数），则 $λ = - \frac{1}{3} μ$ 的最大值为

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16. 若函数 $f (x) = \frac{x}{2} + \ln \sqrt{x}$ 在某区间[a，b]上的值域为[ta，tb]，则t的取值范围．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} - \cos^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x$ ．

(1)、求f（x）单调递减区间；

(2)、已知△ABC中，满足sin²B+sin²C＞sinBsinC+sin²A，求f（A）的取值范围．

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18. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁=1，满足 $\vec{a} = (s_{n + 1} - 2 s_{n} ， s_{n})$ ， $\vec{b} = (2 ， n)$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ．

(1)、求证：数列 ${\frac{s_{n}}{n}}$ 为等比数列；

(2)、求数列{S_n}的前n项和T_n ．

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19. 为了解市民在购买食物时看营养说明与性别的关系，现在社会上随机询问了100名市民，得到如下2×2列联表：

(1)、是否有95%的把握认为：“性别与读营养说明有关系”，并说明理由；

(2)、把频率当概率，若从社会上的男性市民中随机抽取3位，记这3位中读营养说明的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
男性
女性
总计
读营养说明
40
20
60
不读营养说明
20
20
40
总计
60
40
100
参考公式和数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
P（K²≥k₀）
0.10
0.050
0.025
0.010
k₀
2.706
3.841
5.024
6.635

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20. 如图在棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，PD⊥面ABCD，PB=2，PB与面PCD成45°角，PB与面ABD成30°角．

(1)、在PB上是否存在一点E，使PC⊥面ADE，若存在确定E点位置，若不存在，请说明理由；

(2)、当E为PB中点时，求二面角P﹣AE﹣D的余弦值．

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21. 已知函数 $f (x) = x \ln x - \frac{a}{2} x^{2} + 1$ ．

(1)、若y=f（x）在（0，+∞）恒单调递减，求a的取值范围；

(2)、若函数y=f（x）有两个极值点x₁ ， x₂（x₁＜x₂），求a的取值范围并证明x₁+x₂＞2．

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22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4．

(1)、若l的参数方程中的 $t = - \sqrt{2}$ 时，得到M点，求M的极坐标和曲线C直角坐标方程；

(2)、若点P（0，2），l和曲线C交于A，B两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ ．

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23. 已知f（x）=|2x﹣1|+|5x﹣1|

(1)、求f（x）＞x+1的解集；

(2)、若m=2﹣n，对∀m，n∈（0，+∞），恒有 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n} \geq f (x)$ 成立，求实数x的范围．

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	男性	女性	总计
读营养说明	40	20	60
不读营养说明	20	20	40
总计	60	40	100

P（K²≥k₀）	0.10	0.050	0.025	0.010
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635