2017年上海市松江区高考数学一模试卷

试卷更新日期：2017-03-10 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 设集合M={x|x²=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N ．

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2. 已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）²= ．

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3. 已知函数f（x）=a^x﹣1的图象经过（1，1）点，则f^﹣¹（3）

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4. 不等式x|x﹣1|＞0的解集为．

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5. 已知向量 $\vec{a}$ =（sinx，cosx）， $\vec{b}$ =（sinx，sinx），则函数f（x）= $\vec{a}$ • $\vec{b}$ 的最小正周期为．

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6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为．

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7. 按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是

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8. 设（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ ，若 $\frac{a_{2}}{a_{3}}$ = $\frac{1}{3}$ ，则n=

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9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 cm² ．

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10. 设P（x，y）是曲线C： $\sqrt{\frac{x^{2}}{25}} + \sqrt{\frac{y^{2}}{9}}$ =1上的点，F₁（﹣4，0），F₂（4，0），则|PF₁|+|PF₂|的最大值= ．

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11. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} ， 1 \leq x \leq 3 \\ 2^{x} - 8 ， x > 0 \end{matrix}$ ，若F（x）=f（x）﹣kx在其定义域内有3个零点，则实数k∈

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12. 已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，若|a_n₊₁﹣a_n|=2ⁿ（n∈N^*），且{a_2n_﹣₁}是递增数列、{a_2n}是递减数列，则 $\lim_{n \to \infty}$ $\frac{a_{2 n - 1}}{a_{2 n}}$ = ．

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二、选择题

13. 已知a，b∈R，则“ab＞0“是“ $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ ＞2”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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14. 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点P在截面A₁DB上，则线段AP的最小值等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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15. 若矩阵 $(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})$ 满足：a₁₁ ， a₁₂ ， a₂₁ ， a₂₂∈{0，1}，且 $| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} |$ =0，则这样的互不相等的矩阵共有（）

A、2个 B、6个 C、8个 D、10个

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16. 解不等式（ $\frac{1}{2}$ ）^x﹣x+ $\frac{1}{2}$ ＞0时，可构造函数f（x）=（ $\frac{1}{2}$ ）^x﹣x，由f（x）在x∈R是减函数，及f（x）＞f（1），可得x＜1．用类似的方法可求得不等式arcsinx²+arcsinx+x⁶+x³＞0的解集为（）

A、（0，1] B、（﹣1，1） C、（﹣1，1] D、（﹣1，0）

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三、解答题

17. 如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点．

(1)、求证：PC⊥BD；

(2)、求直线BE与PA所成角的余弦值．

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18. 已知函数F（x）= $\frac{a \cdot 2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，（a为实数）．

(1)、根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；

(2)、若对任意的x≥1，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．

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19. 上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H．在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B点，使仰角∠HPB=45°（点A，B，O都在同一水平面上），此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米．试求：

(1)、塔高（即线段PH的长，精确到0.1米）；

(2)、塔身的倾斜度（即PO与PH的夹角，精确到0.1°）．

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20. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A，B两点．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA，PB的斜率k_PA ， k_PB均存在，求证：k_PA•k_PB为定值；

(3)、若l过双曲线的右焦点F₁ ，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点F₁无论怎样转动，都有 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ =0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．

(1)、若数列{a_n}为“H型数列”，且a₁= $\frac{1}{m}$ ﹣3，a₂= $\frac{1}{m}$ ，a₃=4，求实数m的取值范围；

(2)、是否存在首项为1的等差数列{a_n}为“H型数列”，且其前n项和S_n满足S_n＜n²+n（n∈N^*）？若存在，请求出{a_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

(3)、已知等比数列{a_n}的每一项均为正整数，且{a_n}为“H型数列”，b_n= $\frac{2}{3}$ a_n ， c_n= $\frac{a_{n}}{(n + 1) \cdot 2^{n - 5}}$ ，当数列{b_n}不是“H型数列”时，试判断数列{c_n}是否为“H型数列”，并说明理由．

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