2017年上海市青浦区高考数学一模试卷

试卷更新日期：2017-03-10 类型：高考模拟

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一、一.填空题

1. 已知复数z=2+i（i为虚数单位），则 $\bar{z^{2}}$ =

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2. 已知集合 $A {x | \frac{1}{2} \leq 2^{x} < 16}, B = {x | y = \log_{2} (9 - x^{2})}$ ，则A∩B= ．

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3. 在二项式（x+ $\frac{6}{x}$ ）⁶的展开式中，常数项是．

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4. 等轴双曲线C：x²﹣y²=a²与抛物线y²=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4 $\sqrt{3}$ ，则双曲线C的实轴长等于

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5. 如果由矩阵 $(\begin{matrix} a & 2 \\ 2 & a \end{matrix})$ $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} a + 2 \\ 2 a \end{matrix})$ 表示x，y的二元一次方程组无解，则实数a= ．

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6. 执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S= ．

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7. 若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为 $a r c \cos \frac{4}{5}$ ，则该圆锥的体积为

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8. 设数列{a_n}的通项公式为a_n=n²+bn，若数列{a_n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为

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9. 将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A′B′C′，则△A′B′C′中最短边的边长为．（精确到0.01）

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10. 已知点A是圆O：x²+y²=4上的一个定点，点B是圆O上的一个动点，若满足| $\vec{A O}$ + $\vec{B O}$ |=| $\vec{A O}$ ﹣ $\vec{B O}$ |，则 $\vec{A O}$ • $\vec{A B}$ = ．

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11. 若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）= $\sqrt{1 - x^{2}}$ ，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是

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12. 已知数列{a_n}满足：对任意的n∈N^*均有a_n₊₁=ka_n+3k﹣3，其中k为不等于0与1的常数，若a_i∈{﹣678，﹣78，﹣3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，则满足条件的a₁所有可能值的和为．

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二、二.选择题

13. 已知f（x）=sin $\frac{π}{3}$ x，A={1，2，3，4，5，6，7，8}现从集合A中任取两个不同元素s、t，则使得f（s）•f（t）=0的可能情况为（）

A、12种 B、13种 C、14种 D、15种

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14. 已知空间两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；
②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒n⊥α；
③m∥n；m∥α⇒n∥α
④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．
其中正确的序号是（）

A、①④ B、②③ C、①②④ D、①③④

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15. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12），不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位m²）的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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16. 已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x₁ ， y₁）∈M，存在（x₂ ， y₂）∈M，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M={（x，y）|y= $\frac{1}{x^{2}}$ }；
②M={（x，y）|y=log₂x}；
③M={（x，y）|y=2^x﹣2}；
④M={（x，y）|y=sinx+1}．
其中是“垂直对点集”的序号是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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三、解答题

17. 在如图所示的组合体中，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧面ABB₁A₁是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．
（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧AB的中点时，求异面直线A₁C与AB₁的所成角的大小；
（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A₁﹣BCC₁B₁与圆柱的体积比．

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18. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sin²x+cos²（ $\frac{π}{4}$ ﹣x）﹣ $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ （x∈R）．

(1)、求函数f（x）在区间[0， $\frac{π}{2}$ ]上的最大值；

(2)、在△ABC中，若A＜B，且f（A）=f（B）= $\frac{1}{2}$ ，求 $\frac{B C}{A B}$ 的值．

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19.
如图，F₁ ， F₂分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2 $\sqrt{2}$ ，动弦AB平行于x轴，且|F₁A|+|F₁B|=4．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若点P是椭圆C上异于点 $a > \sqrt{5}$ 、A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF₂、NF₂的斜率分别为k₁、k₂ ，求证：k₁•k₂是定值．

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20. 如图，已知曲线 $C_{1} ： y = \frac{2 x}{x + 1} (x > 0)$ 及曲线 $C_{2} ： y = \frac{1}{3 x} (x > 0)$ ，C₁上的点P₁的横坐标为 $a_{1} (0 < a_{1} < \frac{1}{2})$ ．从C₁上的点 $P_{n} (n \in N^{*})$ 作直线平行于x轴，交曲线C₂于Q_n点，再从C₂上的点 $Q_{n} (n \in N^{*})$ 作直线平行于y轴，交曲线C₁于P_n₊₁点，点P_n（n=1，2，3…）的横坐标构成数列{a_n}．

(1)、求曲线C₁和曲线C₂的交点坐标；

(2)、试求a_n₊₁与a_n之间的关系；

(3)、证明： $a_{2 n - 1} < \frac{1}{2} < a_{2 n}$ ．

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21. 已知函数f（x）=x²﹣2ax（a＞0）．

(1)、当a=2时，解关于x的不等式﹣3＜f（x）＜5；

(2)、对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立．求出M（a）的解析式；

(3)、函数y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．

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