2017年上海市静安区高考数学一模试卷

试卷更新日期：2017-03-10 类型：高考模拟

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一、填空题

1. “x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是

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2. 函数 $f (x) = 1 - 3 \sin^{2} (x + \frac{π}{4})$ 的最小正周期为

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3. 若复数z为纯虚数，且满足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为

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4. 二项式 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{5}$ 展开式中x的系数为

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5. 用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．

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6. 已知α为锐角，且 $\cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则sinα= ．

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7. 根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p₀毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式 $P = P_{0} \cdot e^{r x}$ （r为常数）．若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过小时方可驾车．（精确到小时）

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8. 已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x_n}是一个公差为2的等差数列，满足f（x₇）+f（x₈）=0，则x₂₀₁₇的值为．

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9. 直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A M}$ 的最大值为

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10. 已知f（x）=a^x﹣b（（a＞0且且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为．

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二、选择题

11. 若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（）

A、一定平行 B、一定相交 C、一定是异面直线 D、平行、相交、是异面直线都有可能

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12. 在无穷等比数列{a_n}中， $\lim_{n \to \infty} (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) = \frac{1}{2}$ ，则a₁的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、（0，1） D、 $(0 ， \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2} ， 1)$

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13. 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）

A、336种 B、320种 C、192种 D、144种

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14. 已知椭圆C₁ ，抛物线C₂焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C₁的左焦点到C₂的准线之间的距离为（）
x
3
﹣2
4
$\sqrt{2}$
y
-2 $\sqrt{3}$
0
﹣4
$\frac{\sqrt{2}}{2}$

A、 $\sqrt{2}$ -1 B、 $\sqrt{3}$ -1 C、1 D、2

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15. 已知y=g（x）与y=h（x）都是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时， $g (x) = {\begin{matrix} x^{2} ， 0 < x \leq 1 \\ g (x - 1) ， x > 1 \end{matrix}$ ，h（x）=klog₂x（x＞0），若y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，则正实数k的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， 1]$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1]$ C、 $(\frac{1}{2} ， \log_{3} 2]$ D、 $[\frac{1}{2} ， \log_{3} 2]$

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三、解答题

16. 已知正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁ ， AB=a，AA₁=2a，E，F分别是棱AD，CD的中点．

(1)、求异面直线BC₁与EF所成角的大小；

(2)、求四面体CA₁EF的体积．

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17. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，F₁ ， F₂为其左右两个焦点．

(1)、设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求 $\vec{O M} \cdot \vec{F_{1} M}$ 的取值范围；

(2)、若动点P与双曲线C的两个焦点F₁ ， F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为 $- \frac{1}{9}$ ，求动点P的轨迹方程．

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18. 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向 $(\cos θ = \frac{\sqrt{2}}{10})$ ，300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．

(1)、问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；

(2)、城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？

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19. 设集合M_a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．

(1)、若f（x）=2^x﹣x² ，试判断f（x）是否为M₁中的元素，并说明理由；

(2)、若 $g (x) = x^{3} - \frac{1}{4} x + 3$ ，且g（x）∈M_a ，求a的取值范围；

(3)、若 $h (x) = \log_{3} (x + \frac{k}{x}) ， x \in [1 ， + \infty)$ （k∈R），且h（x）∈M₂ ，求h（x）的最小值．

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20. 由n（n≥2）个不同的数构成的数列a₁ ， a₂ ， …a_n中，若1≤i＜j≤n时，a_j＜a_i（即后面的项a_j小于前面项a_i），则称a_i与a_j构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列 $1 ， - \frac{1}{2} ， \frac{1}{4} ， - \frac{1}{8}$ 的逆序数为4．

(1)、计算数列 $a_{n} = - 2 n + 19 (1 \leq n \leq 100 \in N^{*})$ 的逆序数；

(2)、计算数列 $a_{n} = {\begin{matrix} {(\frac{1}{3})}^{n} ， n 为奇数 \\ - \frac{n}{n + 1} ， n 为偶数 \end{matrix}$ （1≤n≤k，n∈N^*）的逆序数；

(3)、已知数列a₁ ， a₂ ， …a_n的逆序数为a，求a_n ， a_n_﹣₁ ， …a₁的逆序数．

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x	3	﹣2	4	$\sqrt{2}$
y	-2 $\sqrt{3}$	0	﹣4	$\frac{\sqrt{2}}{2}$