2017年上海市虹口区高考数学一模试卷

试卷更新日期：2017-03-10 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B= ．

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2. 已知 $\frac{\bar{z}}{1 - i} = 2 + i$ ，则复数z的虚部为．

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3. 设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α= ．

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4. 已知二元一次方程组 ${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}$ 的增广矩阵是 $(\begin{matrix} 1 & \begin{matrix} - 1 & 1 \end{matrix} \\ 1 & \begin{matrix} 1 & 3 \end{matrix} \end{matrix})$ ，则此方程组的解是．

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5. 数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，S_n是它前n项和，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{s_{n}}{a_{n}^{2}}$ =

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6. 已知角A是△ABC的内角，则“ $\cos A = \frac{1}{2}$ ”是“ $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．

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7. 若双曲线x²﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的一个焦点到其渐近线的距离为2 $\sqrt{2}$ ，则该双曲线的焦距等于．

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8. 若正项等比数列{a_n}满足：a₃+a₅=4，则a₄的最大值为．

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9. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．

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10. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} x^{6} ， x \geq 1 \\ - 2 x - 1 ， x \leq - 1 \end{matrix}$ ，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x²项的系数是．

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11. 点M（20，40），抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于．

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12. 当实数x，y满足x²+y²=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是

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二、选择题

13. 在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）

A、若m∥α，m、n不平行，则n与α不平行 B、若m∥α，m、n不垂直，则n与α不垂直 C、若m⊥α，m、n不平行，则n与α不垂直 D、若m⊥α，m、n不垂直，则n与α不平行

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14. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $0 < a \leq \frac{π}{2}$ B、 $0 < a \leq \frac{π}{12}$ C、 $a = k π + \frac{π}{12} ， k \in N^{*}$ D、 $2 k π < a \geq 2 k π + \frac{π}{12} ， k \in N^{*}$

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15. 如图，在圆C中，点A、B在圆上，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值（）

A、只与圆C的半径有关 B、既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关 C、只与弦AB的长度有关 D、是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值

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16. 定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）
①f（2x）=2f（x）；
②若f（x₁）=f（x₂），则x₁﹣x₂＜1；
③任意x₁ ， x₂∈R，f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂）；
④ $f (x) + f (x + \frac{1}{2}) = f (2 x)$ ．

A、①② B、①③ C、②③ D、②④

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三、解答题

17. 在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．

(1)、求证：PA⊥BC；

(2)、求此三棱锥的全面积和体积．

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18. 如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．

(1)、求此时该外国船只与D岛的距离；

(2)、观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．

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19. 已知二次函数f（x）=ax²﹣4x+c的值域为[0，+∞）．

(1)、判断此函数的奇偶性，并说明理由；

(2)、判断此函数在[ $\frac{2}{a}$ ，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；

(3)、求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．

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20.
椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点．设点P（4，3），记PA，PB的斜率分别为k₁和k₂ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、如果直线l的斜率等于﹣1，求出k₁•k₂的值；

(3)、探讨k₁+k₂是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k₁+k₂的取值范围．

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21. 已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a_n}的首项a₁=a．

(1)、如果a_n=f（n）（n∈N^*），写出数列{a_n}的通项公式；

(2)、如果a_n=f（a_n_﹣₁）（n∈N^*且n≥2），要使得数列{a_n}是等差数列，求首项a的取值范围；

(3)、如果a_n=f（a_n_﹣₁）（n∈N^*且n≥2），求出数列{a_n}的前n项和S_n ．

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