2017年上海市崇明县高考数学一模试卷

试卷更新日期：2017-03-10 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 复数i（2+i）的虚部为

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2. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} \log_{2} x ， x > 0 \\ 4^{x} ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，则f（f（﹣1））的值为．

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3. 已知M={x||x﹣1|≤2，x∈R}，P={x| $\frac{1 - x}{x + 2}$ ≥0，x∈R}，则M∩P等于．

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4. 抛物线y=x²上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为．

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5. 已知无穷数列{a_n}满足a_n₊₁= $\frac{1}{2}$ a_n（n∈N*），且a₂=1，记S_n为数列{a_n}的前n项和，则 $\lim_{n \to \infty}$ S_n= ．

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6. 已知x，y∈R⁺ ，且x+2y=1，则x•y的最大值为．

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7. 已知圆锥的母线l=10，母线与旋转轴的夹角α=30°，则圆锥的表面积为．

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8. 若（2x²+ $\frac{1}{x}$ ）ⁿn∈N^*的二项展开式中的第9项是常数项，则n=

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9. 已知A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB= $\frac{π}{2}$ ，则该函数的最小正周期是

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10. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是

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11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数y=f（x）的图象恰好经过k个格点，则称函数y=f（x）为k阶格点函数．已知函数：①y=x²；②y=2sinx，③y=π^x﹣1；④y=cos（x+ $\frac{π}{3}$ ）．其中为一阶格点函数的序号为（注：把你认为正确论断的序号都填上）

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12. 已知AB为单位圆O的一条弦，P为单位圆O上的点．若f（λ）=| $\vec{A P}$ ﹣λ $\vec{A B}$ |（λ∈R）的最小值为m，当点P在单位圆上运动时，m的最大值为 $\frac{4}{3}$ ，则线段AB的长度为．

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二、选择题

13. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）

A、y=tanx B、y=3^x C、 $y = x^{\frac{1}{3}}$ D、y=lg|x|

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14. 设a，b∈R，则“ ${\begin{matrix} a + b > 2 \\ a b > 1 \end{matrix}$ ”是“a＞1且b＞1”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件

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15. 如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2 $\sqrt{5}$ ，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{5}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{30} + \frac{y^{2}}{10}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{45} + \frac{y^{2}}{25}$ =1

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16. 实数a，b满足a•b＞0且a≠b，由a、b、 $\frac{a + b}{2}$ 、 $\sqrt{a b}$ 按一定顺序构成的数列（）

A、可能是等差数列，也可能是等比数列 B、可能是等差数列，但不可能是等比数列 C、不可能是等差数列，但可能是等比数列 D、不可能是等差数列，也不可能是等比数列

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三、解答题

17. 在正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB=1，BB₁=2，求：

(1)、异面直线B₁C₁与A₁C所成角的大小；

(2)、四棱锥A₁﹣B₁BCC₁的体积．

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18. 在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40 $\sqrt{2}$ 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ= $\frac{\sqrt{26}}{26}$ ，0°＜θ＜90°）且与点A相距10 $\sqrt{13}$ 海里的位置C．
（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

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19. 已知点F₁、F₂为双曲线C：x²﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF₁F₂=30°．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P₁、P₂ ，求 $\vec{P P_{1}} \cdot \vec{P P_{2}}$ 的值．

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20. 设 $f (x) = \frac{- 2^{x} + a}{2^{x + 1} + b}$ （a，b为实常数）．

(1)、当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；

(2)、设f（x）是奇函数，求a与b的值；

(3)、当f（x）是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D，对任何属于D的x、c，都有f（x）＜c²﹣3c+3成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，请说明理由．

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21. 已知数列{a_n}，{b_n}满足2S_n=（a_n+2）b_n ，其中S_n是数列{a_n}的前n项和．

(1)、若数列{a_n}是首项为 $\frac{2}{3}$ ，公比为﹣ $\frac{1}{3}$ 的等比数列，求数列{b_n}的通项公式；

(2)、若b_n=n，a₂=3，求证：数列{a_n}满足a_n+a_n₊₂=2a_n₊₁ ，并写出数列{a_n}的通项公式；

(3)、在（2）的条件下，设c_n= $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，
求证：数列{c_n}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．

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