2016-2017学年重庆市綦江区八校联盟高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-09 类型：期末考试

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一、选择题：

1. 设全集U={x|x＞1}，集合A={x|x＞2}，则∁_UA=（）

A、{x|1＜x≤2} B、{x|1＜x＜2} C、{x|x＞2} D、{x|x≤2}

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2. 等差数列{a_n}中，a₁=2，a₅=a₄+2，则a₃=（）

A、4 B、10 C、8 D、6

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3. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（m，1），若 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则实数m=（）

A、﹣2 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、﹣ $\frac{1}{2}$

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4. 已知a＞0，b＞0，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ =1，则a+2b的最小值是（）

A、3﹣2 $\sqrt{2}$ B、3+2 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、4

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5. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 1 \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \end{matrix}$ ，则z=2x﹣y的最小值为（）

A、1 B、﹣1 C、2 D、﹣2

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6. 已知tan（ $\frac{π}{4}$ +α）=2，则sin2α=（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、﹣ $\frac{3}{5}$ C、﹣ $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 下列说法中，正确的是（）

A、已知a，b，m∈R，命题“若am²＜bm² ，则a＜b”为假命题 B、“x＞3”是“x＞2”的必要不充分条件 C、命题“p或q”为真命题，￢p为真，则命题q为假命题 D、命题“∃x₀∈R，x₀²﹣x₀＞0”的否定是：“∀x∈R，x²﹣x≤0”

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8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，3，则输出v的值为（）

A、20 B、61 C、183 D、548

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9. 将函数y=sin（x+ $\frac{ϕ}{2}$ ）cos（x+ $\frac{ϕ}{2}$ ）的图象沿x轴向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（）

A、 $\frac{7 π}{4}$ B、﹣ $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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10. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S_n=1+2a_n（n≥2），且a₁=2，则S₂₀（）

A、2¹⁹﹣1 B、2²¹﹣2 C、2¹⁹+1 D、2²¹+2

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11. 已知函数f（x）是奇函数，当x＜0，f（x）=﹣x²+x，若不等式f（x）﹣x≤2log_ax（a＞0且a≠1）对∀x∈（0， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ]恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、（0， $\frac{1}{4}$ ] B、[ $\frac{1}{4}$ ，1） C、（0， $\frac{1}{2}$ ] D、[ $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ]∪（1，+∞）

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12. 已知定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（f′（x）是函数f（x）的导函数），若a=0.7⁶f（0.7⁶），b=log $_{\frac{10}{7}}$ 6f（log $_{\frac{10}{7}}$ 6），c=6^0.6f（6^0.6），则a，b，c的大小关系是（）

A、a＞b＞c B、b＞a＞c C、c＞a＞b D、a＞c＞b

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二、二.填空题：

13. 已知复数z满足z= $\frac{1 + i}{i}$ ，则|z|= ．

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14. 已知曲线y= $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣lnx的一条切线的斜率为﹣ $\frac{1}{2}$ ，则切点的坐标为．

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15. 在边长为3的等边三角形ABC中， $\vec{D C}$ =2 $\vec{B D}$ ，2 $\vec{B C}$ + $\vec{B A}$ =3 $\vec{B E}$ ，则| $\vec{D E}$ |= ．

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16. 函数f（x）= ${\begin{matrix} | \log_{5} (1 - x) | ， (x < 1) \\ - {(x - 2)}^{2} + 2 ， (x > 1 ， x \neq 2) \end{matrix}$ 且对于方程f（x）²﹣af（x）+a²﹣3=0有7个实数根，则实数a的取值范围是．

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三、解答题：

17. 已知函数f（x）=2cos（ $\frac{π}{2}$ ﹣x）cos（x+ $\frac{π}{3}$ ）+ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0， $\frac{π}{2}$ ]上的值域．

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18. 已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，S₅=20，a₁ ， a₃ ， a₇成等比数列．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若b_n₊₁=b_n+a_n ，且b₁=1，求数列{ $\frac{1}{b_{n}}$ }的前n项和T_n ．

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19. 如图，在△ABC中，AB=2， $\frac{3}{2}$ cos2B+5cosB﹣ $\frac{1}{2}$ =0，且点D在线段BC上．

(1)、若∠ADC= $\frac{3 π}{4}$ ，求AD的长；

(2)、若BD=2DC， $\frac{\sin ∠ B A D}{\sin ∠ C A D}$ =4 $\sqrt{2}$ ，求△ABD的面积．

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20. 已知f（x）=x²﹣ax+lnx，a∈R．

(1)、当a=3时，求函数f（x）的极小值；

(2)、令g（x）=x²﹣f（x），是否存在实数a，当x∈[1，e]（e是自然对数的底数）时，函数g（x）取得最小值为1．若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{1}{3}$ ax³﹣be^x（a∈R，b∈R），且f（x）在x=0处的切线与x﹣y+3=0垂直．

(1)、若函数f（x）在[ $\frac{1}{2}$ ，1]存在单调递增区间，求实数a的取值范围；

(2)、若f′（x）有两个极值点x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ，求a的取值范围；

(3)、在第二问的前提下，证明：﹣ $\frac{e}{2}$ ＜f′（x₁）＜﹣1．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 \cos α \\ y = \sin α \end{matrix}$ （α为参数），在以原点为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣ $\frac{π}{4}$ ）= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求C的普通方程和l的倾斜角；

(2)、若l和C交于A，B两点，且Q（2，3），求|QA|+|QB|．

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23. 设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，

(1)、证明：| $\frac{1}{3}$ a+ $\frac{1}{6}$ b|＜ $\frac{1}{4}$ ；

(2)、比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．

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