2016-2017学年山东省威海市高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-09 类型：期末考试

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一、选择题：

1. 已知i是虚数单位，若复数z满足（1+i）z=2i，则z的虚部是（）

A、1 B、﹣1 C、﹣i D、i

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2. 若集合 $A = {x | \frac{x + 5}{x - 2} \leq 0}$ ，B={x||x|＜3}，则集合 A∪B为（）

A、{x|﹣5＜x＜3} B、{x|﹣3＜x＜2} C、{x|﹣5≤x＜3} D、{x|﹣3＜x≤2}

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3. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、﹣1 D、﹣2

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4. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x与相应的生产能耗y的几组对应数据：
x
4
2
3
5
y
49
m
39
54
根据上表可得回归方程 $\hat{y} = 9.4 x + 9.1$ ，那么表中m的值为（）

A、27.9 B、25.5 C、26.9 D、26

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5. 函数 $y = \cos^{2} (x - \frac{π}{6})$ 的一条对称轴为（）

A、 $x = - \frac{π}{6}$ B、 $x = \frac{5 π}{12}$ C、 $x = \frac{π}{3}$ D、 $x = - \frac{π}{3}$

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6. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x - 3 y - 1 \leq 0 \\ x \leq k \end{matrix}$ ，若z=3x﹣y的最大值为3，则实数k的值为（）

A、﹣1 B、1 C、2 D、3

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7. 设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列四个命题为真命题的是（）
①若m⊥α，n⊥m，则n∥α；
②若α∥β，n⊥α，m∥β，则n⊥m；
③若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
④若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β．

A、②③ B、③④ C、②④ D、①④

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8. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 与抛物线y²=8x的准线交于点P，Q，抛物线的焦点为F，若△PQF是等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{25}{9}$ D、 $\frac{16}{9}$

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9. 已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设 $\vec{A D} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ （λ，μ∈R），则 $\frac{λ}{μ}$ =（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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10. 已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：
①f（x）=lnx（e²≤x≤e³）；②f（x）=4﹣cosx；③ $f (x) = x^{\frac{1}{2}} (1 < x < 4)$ ；④ $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ ．
其中为“三角形函数”的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题：

11. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[100，110），[110，120），[120，130）三组内的学生中，用分层抽样的方法选取28人参加一项活动，则从身高在[120，130）内的学生中选取的人数应为．

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12. 已知 $n = {\int_{1}^{e}}^{6} \frac{1}{x} d x$ ，那么 ${(\sqrt{x} - \frac{5}{x})}^{n}$ 的展开式中含 $x^{\frac{3}{2}}$ 的项的系数为．

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13. 不等式|2x﹣1|+|2x+9|＞10的解集为．

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14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．

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15. 定义在R上的函数f（x）满足2f（4﹣x）=f（x）+x²﹣2，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是．

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三、解答题：

16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $c (\sqrt{3} \sin B + \cos B) = a + b$ ．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若a=5，△ABC的面积为 $5 \sqrt{3}$ ，求sinB的值．

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17. 空间几何体ABCDEF如图所示．已知面ABCD⊥面ADEF，ABCD为梯形，ADEF为正方形，且AB∥CD，AB⊥AD，CD=4，AB=AD=2，G为CE的中点．
（Ⅰ）求证：BG∥面ADEF；
（Ⅱ）求证：面DBG⊥面BDF．

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18. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁=1，a_n≠0，2a_n•a_n₊₁=tS_n﹣2，其中t为常数．
（Ⅰ）设b_n=a_n₊₁+a_n ，求证：{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）若t=4，求S_n ．

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19. 某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别，每种课程类别开设课程数及学分设定如下表所示：
人文科学类
自然科学类
艺术体育类
课程门数
4
4
2
每门课程学分
2
3
1
学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．
（Ⅰ）甲至少选1门艺术体育类课程，同时乙至多选1门自然科学类课程的概率为多少？
（Ⅱ）求甲选的3门课程正好是7学分的概率；
（Ⅲ）设甲所选3门课程的学分数为X，写出X的分布列，并求出X的数学期望．

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20. 已知函数f（x）=x²+alnx﹣x（a≠0），g（x）=x² ．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的a∈（1，+∞），总存在x₁ ， x₂∈[1，a]，使得f（x₁）﹣f（x₂）＞g（x₁）﹣g（x₂）+m成立，求实数m的取值范围．

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21. 已知椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，F₁ ， F₂分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点，△PF₁F₂的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ，直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l与圆x²+y²=1相切，过椭圆C的右焦点F₂作垂直于x轴的直线，与椭圆相交于M，N两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）．求四边形MANB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程；
（Ⅲ）若|AB|=2，试判断直线l与圆x²+y²=1的位置关系．

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	人文科学类	自然科学类	艺术体育类
课程门数	4	4	2
每门课程学分	2	3	1