2016-2017学年湖北省孝感市七校教学联盟高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-09 类型：期末考试

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一、选择题

1. 若全集U=R，集合A={x|1＜2^x＜4}，B={x|x﹣1≥0}，则A∩∁_UB=（　　）

A、{x|1＜x＜2} B、{x|0＜x≤1} C、{x|0＜x＜1} D、{x|1≤x＜2}

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2. 欧拉公式e^ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e²ⁱ表示的复数在复平面中位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 如图是根据x，y的观测数据（x_i ， y_i）（i=1，2，…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是（）

A、①② B、①④ C、②③ D、③④

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4. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的函数是（）

A、y=2x³ B、y=|x|+1 C、y=﹣x²+4 D、y=2^|^x^|

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5. 下列说法正确的个数是（）
①命题“∀x∈R，x³﹣x²+1≤0”的否定是“ $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 > 0$ ；
②“ $b = \sqrt{a c}$ ”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件；
③“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充要条件：

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）

A、若m∥α，m∥β，则α∥β B、若m⊥α，α⊥β，则 m∥β C、若m⊂α，m⊥β，则 α⊥β D、若m⊂α，α⊥β，则 m⊥β

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7. 函数f（x）=ln（x+1）﹣ $\frac{2}{x}$ 的零点所在的大致区间是（）

A、（3，4） B、（2，e） C、（1，2） D、（0，1）

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8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[﹣1，3]，则输出的y属于（）

A、[0，2] B、[1，2] C、[0，1] D、[﹣1，5]

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9. 已知直线l：x﹣y﹣1=0是圆C：x²+y²+mx﹣2y+1=0的对称轴，过点A（m，﹣1）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）

A、2 B、 $4 \sqrt{2}$ C、6 D、 $2 \sqrt{10}$

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10. 设0＜x＜ $\frac{π}{2}$ ，记a=lnsinx，b=sinx，c=e^sinx ，则比较a，b，c的大小关系为（）

A、a＜b＜c B、b＜a＜c C、c＜b＜a D、b＜c＜a

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11. 已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图，则四棱锥P﹣ABCD的全面积为（）

A、 $3 + \sqrt{5}$ B、 $2 + \sqrt{5}$ C、5 D、4

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12. 下列命题中正确的是（）

A、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数 B、函数y=2sin（ $\frac{π}{6}$ ﹣2x）在区间[﹣ $\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}$ ]上单调递减 C、函数y=2sin（ $\frac{π}{3}$ -2x）﹣cos（ $\frac{π}{6}$ +2x）（x∈R）的一条对称轴方程是x= $\frac{π}{6}$ D、函数y=sinπx•cosπx的最小正周期为2，且它的最大值为1

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二、二.填空题

13. 已知向量 $\vec{O M}$ =（3，﹣2）， $\vec{O N}$ =（﹣5，﹣1），则 $\frac{1}{2} \vec{M N}$ = ．

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14. 若（mx+y）⁶展开式中x³y³的系数为﹣160，则m= ．

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15. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．

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16. 已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．

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三、解答题

17. 解答题。

(1)、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 $\sqrt{7}$ x﹣ $\sqrt{5}$ y+12=0相切．求椭圆C的方程；

(2)、已知⊙A₁：（x+2）²+y²=12和点A₂（2，0），求过点A₂且与⊙A₁相切的动圆圆心P的轨迹方程．

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18. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₁=2，na_n₊₁=2（n+1）a_n

(1)、记b_n= $\frac{a_{n}}{n}$ ，求数列{b_n}的通项b_n；

(2)、求通项a_n及前n项和S_n ．

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19. 已知向量 $\vec{a}$ =（sinx，﹣1）， $\vec{b}$ =（ $\sqrt{3}$ cosx，﹣ $\frac{1}{2}$ ），函数f（x）=（ $\vec{a} + \vec{b}$ ）• $\vec{a}$ ﹣2．

(1)、求函数f（x）的最小正周期T；

(2)、已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2 $\sqrt{3}$ ，c=4，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面积S．

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20. 某市拟定2016年城市建设A，B，C三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对A，B，C三项重点工程竞标成功的概率分别为a，b， $\frac{1}{4}$ （a＞b），已知三项工程都竞标成功的概率为 $\frac{1}{24}$ ，至少有一项工程竞标成功的概率为 $\frac{3}{4}$ ．

(1)、求a与b的值；

(2)、公司准备对该公司参加A，B，C三个项目的竞标团队进行奖励，A项目竞标成功奖励2万元，B项目竞标成功奖励4万元，C项目竞标成功奖励6万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望．

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21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC= $\frac{1}{2}$ AD=1，CD= $\sqrt{3}$ ．

(1)、求证：平面MQB⊥平面PAD；

(2)、若二面角M﹣BQ﹣C大小的为60°，求QM的长．

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22. 已知函数f（x）= $\frac{x^{2} + 5 x + 5}{e^{x}}$ ．

(1)、求f（x）的极大值；

(2)、求f（x）在区间（﹣∞，0]上的最小值；

(3)、若x²+5x+5﹣ae^x≥0，求a的取值范围．

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