2016-2017学年河北省廊坊市高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知A={x|x≥k}，B={x| $\frac{3}{x + 1}$ ＜1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k的取值范围是（）

A、k＜﹣1 B、k≤﹣1 C、k＞2 D、k≥2

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2. 若复数z满足z+zi=3+2i，则在复平面内z对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知m＞0，n＞0，2m+n=1，则 $\frac{1}{m}$ + $\frac{2}{n}$ 的最小值为（）

A、4 B、2 $\sqrt{2}$ C、8 D、16

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4. 已知a=log₃6，b=1+3 $^{- \log_{3} e}$ ，c=（ $\frac{2}{3}$ ）^﹣¹则a，b，c的大小关系为（）

A、a＞b＞c B、b＞a＞c C、c＞b＞a D、a＞c＞b

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5. 执行下面的程序框图，则输出的k值为（）

A、﹣1 B、4 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6. 已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=1，a₂=3，数列{a_na_n₊₁}是公比为2的等比数列，则S₁₀=（）

A、1364 B、 $\frac{124}{3}$ C、118 D、124

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7. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + y \leq 2 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，当且仅当x=y=1时，z=ax+y取得最大值，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣1，1） B、（﹣∞，1） C、（﹣∞，﹣1） D、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

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8. 球O与棱长为a的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的各个面均相切，如图，用平平行于底面的平面截去长方体A₂B₂C₂D₂﹣A₁B₁C₁D₁ ，得到截面A₂B₂C₂D₂ ，且A₂A= $\frac{3}{4}$ a，现随机向截面A₂B₂C₂D₂上撒一粒黄豆，则黄豆落在截面中的圆内的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3 π}{16}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3}{16}$

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9. 如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、12 B、6 C、2 D、3

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10. 如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，则| $\vec{O A} + \vec{O P}$ |的取值范围为（）

A、[ $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ ，5] B、[ $\sqrt{2}$ ，4] C、[ $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{5}$ ] D、[ $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ ，4]

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11. 如图，双曲线的中心在坐标原点O，M、N分别为双曲线虚轴的上、下端点，A是双曲线的右顶点，F是双曲线的右焦点，直线AM与FN相交于点P，若∠APF是锐角，则此双曲线的离心率的取值范围是（）

A、（ $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ，+∞） B、（1+ $\sqrt{5}$ ，+∞） C、（0， $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ） D、（ $\frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ ，+∞）

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12. 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（﹣x）=f（2+x），f（2）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（）

A、（﹣2，+∞） B、（0，+∞） C、（1，+∞） D、（2，+∞）

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二、填空题

13. 已知函数f（x）= $\frac{5}{2^{x}}$ ﹣log₂x的零点在区间（n，n+1）（n∈N）内，则n的值为．

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14. 设a= $\int_{0}^{e^{2} - 1}$ $\frac{1}{x + 1}$ dx，则二项式（x²﹣ $\frac{a}{x}$ ）⁹的展开式中常数项为．

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15.
我国唐代诗人王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”，这里明月和清泉，都是自然景物，没有变，形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变，其余各词均如此．变化中的不变性质，在文学和数学中都广泛存在．比如我们利用几何画板软件作出抛物线C：x²=y的图象（如图），过交点F作直线l交C于A、B两点，过A、B分别作C的切线，两切线交于点P，过点P作x轴的垂线交C于点N，拖动点B在C上运动，会发现 $\frac{| N P |}{| N F |}$ 是一个定值，该定值是．

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16. 在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，则下列结论正确的序号是．
①若a、b、c成等差数列，则B= $\frac{π}{3}$ ； ②若c=4，b=2 $\sqrt{3}$ ，B= $\frac{π}{6}$ ，则△ABC有两解；
③若B= $\frac{π}{6}$ ，b=1，ac=2 $\sqrt{3}$ ，则a+c=2+ $\sqrt{3}$ ； ④若（2c﹣b）cosA=acosB，则A= $\frac{π}{6}$ ．

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a}$ =（2sin $\frac{x}{4}$ ，2sin $\frac{x}{4}$ ）， $\vec{b}$ =（cos $\frac{x}{4}$ ，﹣ $\sqrt{3}$ sin $\frac{x}{4}$ ）．
（Ⅰ）求函数f（x）= $\vec{a}$ • $\vec{b}$ + $\sqrt{3}$ 的最小正周期；
（Ⅱ）若β= $\frac{2 \sin α}{f (2 α + \frac{π}{3})}$ ，g（β）=tan2α，α≠ $\frac{π}{4}$ + $\frac{k π}{2}$ 且α≠ $\frac{π}{2}$ +kπ（k∈Z），数列{a_n}满足a₁= $\frac{1}{4}$ ，a_n₊₁²= $\frac{1}{2}$ a_ng（a_n）（n≤16且n∈N^*），令b_n= $\frac{1}{a_{n}^{2}}$ ，求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n ．

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18. 近年来，手机已经成为人们日常生活中不可缺少的产品，手机的功能也日趋完善，已延伸到了各个领域，如拍照，聊天，阅读，缴费，购物，理财，娱乐，办公等等，手机的价格差距也很大，为分析人们购买手机的消费情况，现对某小区随机抽取了200人进行手机价格的调查，统计如下：
年龄价格
5000元及以上
3000元﹣4999元
1000元﹣2999元
1000元以下
45岁及以下
12
28
66
4
45岁以上
3
17
46
24
（Ⅰ）完成关于人们使用手机的价格和年龄的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为人们使用手机的价格和年龄有关？
（Ⅱ）从样本中手机价格在5000元及以上的人群中选择3人调查其收入状况，设3人中年龄在45岁及以下的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列及数学期望．
附K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
P（K²≥k）
0.05
0.025
0.010
0.001
k
3.841
5.024
6.635
10.828

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19. 如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=60°，SA⊥平面ABCD，且SA=4，M在棱SA上，且AM=1，N在棱SD上且SN=2ND．
（Ⅰ）求证：CN∥面BDM；
（Ⅱ）求直线SD与平面BDM所成的角的正弦值．

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20. 若F₁ ， F₂是椭圆C： $\frac{y^{2}}{9}$ + $\frac{x^{2}}{m}$ =1（0＜m＜9）的两个焦点，椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF₁相切于该线段的中点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（0， $\sqrt{5}$ ）的直线l与椭圆C交于两点A、B，线段AB的中垂线l₁交x轴于点N，R是线段AN的中点，求直线l₁与直线BR的交点E的轨迹方程．

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21. 已知函数f（x）=ax²﹣lnx，a∈R．

(1)、当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)、是否存在实数a，使f（x）的最小值为 $\frac{3}{2}$ ，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

(3)、当x∈（0，+∞）时，求证：e²x³﹣2x＞2（x+1）lnx．

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四、选修题

22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3}$ =1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）=6．
（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；
（Ⅱ）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣ $\frac{1}{2}$ |﹣|2x+1|．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）的最大值时a，已知x，y，z均为正实数，且x+y+z=a，求证： $\frac{y^{2}}{x}$ + $\frac{z^{2}}{y}$ + $\frac{x^{2}}{z}$ ≥1．

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年龄价格	5000元及以上	3000元﹣4999元	1000元﹣2999元	1000元以下
45岁及以下	12	28	66	4
45岁以上	3	17	46	24

P（K²≥k）	0.05	0.025	0.010	0.001
k	3.841	5.024	6.635	10.828