2016-2017学年北京市朝阳区高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-08 类型：期末考试

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一、选择题：

1. 已知全集U=R，集合A={x|2^x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁_UA）∩B=（）

A、{x|x＞2} B、{x|0≤x＜2} C、{x|0＜x≤2} D、{x|x≤2}

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2. 在复平面内，复数 $\frac{2}{1 + i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是（）

A、y=cosx B、y=﹣x² C、 $y = {(\frac{1}{2})}^{| x |}$ D、y=|sinx|

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4. 若a＞0，且a≠1，则“函数y=a^x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x³在R上是增函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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6. 某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、4

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7. 在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且| $\vec{A B}$ |=3，| $\vec{A C}$ |=4， $\vec{A D}$ =λ $\vec{A B}$ +μ $\vec{A C}$ （λ＞0，μ＞0），则当λμ取得最大值时，| $\vec{A D}$ |的值为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{12}{5}$

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8. 某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）

A、23 B、20 C、21 D、19

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二、填空题：

9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线方程为3x+2y=0，则b等于．

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10. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ．若a₁=2，S₂=a₃ ，则a₂= ， S₁₀= ．

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11. 执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为．

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12. 在△ABC中，已知 $∠ B = 45^{\circ} ， A C = \frac{1}{2} B C$ ，则∠C= ．

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13. 设D为不等式组 ${\begin{matrix} x + y \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x + 3 y \leq 3 \end{matrix}$ 表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是， $\frac{x - y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 的取值范围是．

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14. 若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M（M⊆R），f：M→M是从集合到集合的一个函数，
①如果都有f（x+y）=f（x）+f（y），就称是保加法的；
②如果∀x，y∈M都有f（xy）=f（x）•f（y），就称f是保乘法的；
③如果f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的．
在上述定义下，集合 ${\sqrt{3} m + n | m ， n \in Q}$ 封闭的（填“是”或“否”）；若函数f（x）在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f（x）= ．

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三、解答题：

15. 已知函数f（x）=2 $\sqrt{3}$ sinxcosx+2cos²x﹣1
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{4}$ ]上的最大值和最小值．

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16. 甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：8281797895889384
乙：9295807583809085
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；
（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求ξ的分布列及数学期望Eξ．

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17. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；
（Ⅱ）若二面角D﹣AB﹣E为直二面角，
（ i）求直线AC与平面CDE所成角的大小；
（ ii）棱DE上是否存在点P，使得BP⊥平面DEF？若存在，求出 $\frac{D P}{D E}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上的动点P与其顶点 $A (- \sqrt{3} ， 0)$ ， $B (\sqrt{3} ， 0)$ 不重合．
（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；
（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN的面积．

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19. 设函数f（x）=ln（x﹣1）+ax²+x+1，g（x）=（x﹣1）e^x+ax² ， a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数g（x）有两个零点，试求a的取值范围；
（Ⅲ）证明f（x）≤g（x）

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20. 设m，n（3≤m≤n）是正整数，数列A_m：a₁ ， a₂ ， …，a_m ，其中a_i（1≤i≤m）是集合{1，2，3，…，n}中互不相同的元素．若数列A_m满足：只要存在i，j（1≤i＜j≤m）使a_i+a_j≤n，总存在k（1≤k≤m）有a_i+a_j=a_k ，则称数列A_m是“好数列”．
（Ⅰ）当m=6，n=100时，
（ⅰ）若数列A₆：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，试写出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是否是一个“好数列”？
（ⅱ）若数列A₆：11，78，a，b，c，d是“好数列”，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少种不同的取值？
（Ⅱ）若数列A_m是“好数列”，且m是偶数，证明： $\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{m}}{m} \geq \frac{n + 1}{2}$ ．

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