2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷

试卷更新日期：2017-03-08 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 若集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}，则A∩Z= ．

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2. 抛物线y²=2x的准线方程是．

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3. 若复数z满足 $\frac{i}{z - 1} = \frac{1}{2}$ （i为虚数单位），则z= ．

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4. 已知sin（α+ $\frac{π}{2}$ ）= $\frac{1}{3}$ ，α∈（﹣ $\frac{π}{2}$ ，0），则tanα= ．

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5. 以点（2，﹣1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是．

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6. 若二项式 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式共有6项，则此展开式中含x⁴的项的系数是．

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7. 已知向量 $\vec{a} = (x ， y)$ （x，y∈R）， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，若x²+y²=1，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最大值为．

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8. 已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log₂（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）= ．

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9. 在数列{a_n}中，若对一切n∈N*都有a_n=﹣3a_n₊₁ ，且 $\lim_{n \to \infty} (a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{2 n})$ = $\frac{9}{2}$ ，则a₁的值为．

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10. 甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有．

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11. 已知点O，A，B，F分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若 $\vec{A B} = λ \vec{O P}$ ，则实数λ的值为．

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12. 已知 $f (x) = | \begin{matrix} a x & x \\ - 2 & 2 x \end{matrix} | (a$ 为常数）， $g (x) = \frac{2 x^{2} + 1}{x}$ ，且当x₁ ， x₂∈[1，4]时，总有f（x₁）≤g（x₂），则实数a的取值范围是．

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二、选择题

13. 若x∈R，则“x＞1”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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14. 关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）

A、若l∥α，α∩β=m，则l∥m B、若l∥α，m∥α，则l∥m C、若l⊥α，m∥α，则l⊥m D、若l∥α，m⊥l，则m⊥α

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15. 在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），则满足tan∠PAB•tan∠PBA=m（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1 (y \neq 0)$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ C、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{m} = 1 (y \neq 0)$ D、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{m} = 1$

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16. 若函数y=f（x）在区间I上是增函数，且函数 $y = \frac{f (x)}{x}$ 在区间I上是减函数，则称函数f（x）是区间I上的“H函数”．对于命题：①函数 $f (x) = - x + 2 \sqrt{x}$ 是（0，1）上的“H函数”；②函数 $g (x) = \frac{2 x}{1 - x^{2}}$ 是（0，1）上的“H函数”．下列判断正确的是（）

A、①和②均为真命题 B、①为真命题，②为假命题 C、①为假命题，②为真命题 D、①和②均为假命题

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三、解答题

17. 在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA⊥底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为 $\frac{π}{6}$ ．

(1)、求三棱锥P﹣ABC的体积；

(2)、若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

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18. 已知双曲线C以F₁（﹣2，0）、F₂（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．

(1)、求双曲线C与其渐近线的方程；

(2)、若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且 $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ （O为坐标原点）．求直线l的方程．

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19. 现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在 $\hat{A B}$ 上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．

(1)、试求S关于θ的函数关系式；

(2)、求S的最大值．

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20. 已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．

(1)、判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；

(2)、若 $f (x) = \lg \frac{a}{x^{2} + 2}$ 属于集合M，求实数a的取值范围；

(3)、若f（x）=2^x+bx² ，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．

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21. 已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n₊₁﹣a_n（n=1，2，3，…）．

(1)、若b_n=10﹣n，求a₁₆﹣a₅的值；

(2)、若 $b_{n} = {(- 1)}^{n} (2^{n} + 2^{33 - n})$ 且a₁=1，则数列{a_2n₊₁}中第几项最小？请说明理由；

(3)、若c_n=a_n+2a_n₊₁（n=1，2，3，…），求证：“数列{a_n}为等差数列”的充分必要条件是“数列{c_n}为等差数列且b_n≤b_n₊₁（n=1，2，3，…）”．

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