2017年安徽省蚌埠市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-08 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知A={x|2^x＜1}，B={x|y= $\sqrt{x + 2}$ }，则A∩B=（）

A、[﹣2，0） B、[﹣2，0] C、（0，+∞） D、[﹣2，+∞）

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2. 复数Z在映射f下的象为（1+i）Z，则﹣1+2i的原象为（）

A、 $- \frac{1 + 3 i}{2}$ B、 $\frac{1 + 3 i}{2}$ C、 $- \frac{1 - 3 i}{2}$ D、 $\frac{1 - 3 i}{2}$

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3. 若cos（ $\frac{π}{2} + α$ ）= $\frac{3}{5}$ ，则cos2α=（）

A、- $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、一 $\frac{16}{25}$ D、 $\frac{16}{25}$

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4. 已知非零向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 满足3| $\vec{m}$ |=2| $\vec{n}$ |，＜ $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ＞=60°，若 $\vec{n}$ ⊥（t $\vec{m}$ + $\vec{n}$ ）则实数t的值为（）

A、3 B、﹣3 C、2 D、﹣2

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5. M是抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|MF|=p，K是抛物线C准线与x轴的交点，则∠MKO=（）

A、15° B、30° C、45° D、60°

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6. 若实数x，y满足 ${\begin{matrix} x - y + 1 \leq 0 \\ \begin{array}{l} x > 0 \\ y \leq 2 \end{array} \end{matrix}$ ，则 $\frac{2 y}{2 x + 1}$ 的取值范围是（）

A、[ $\frac{4}{3}$ ，4] B、[ $\frac{4}{3}$ ，4） C、[2，4] D、（2，4]

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7. 已知函数f（x）定义域为R，命题：p：f（x）为奇函数，q： $\int_{- 1}^{1}$ f（x）dx=0，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f（x）的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则函数f（x）的解析式为（）

A、f（x）=2sin（x+ $\frac{π}{6}$ ） B、f（x）=2sin（x+ $\frac{π}{3}$ ） C、f（x）=2sin（2x+ $\frac{π}{6}$ ） D、f（x）=2sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ）

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9. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）

A、3 B、4 C、6 D、7

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10. 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有（）

A、28个 B、21个 C、35个 D、56个

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11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、3 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 已知函数f（x）= $\frac{a}{x} - e^{- x} (a \in R$ 且x＞0）．若存在实数p，q（p＜q），使得f（x）≤0的解集恰好为[p，q]，则a的取值范围是（）

A、（0， $\frac{1}{e}$ ] B、（一∞， $\frac{1}{e}$ ] C、（0， $\frac{1}{e}$ ） D、（一∞， $\frac{1}{e}$ ）

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二、填空题：

13. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣ $\sqrt{2}$ ）²+y²=1相切，则此双曲线的离心率为．

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14. 若（ $\frac{x}{2} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ ）^a的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是．

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15. 《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率π=3），则该圆柱形容器能放米斛．

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16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为1，且 $\frac{\tan A}{\tan B}$ = $\frac{2 c - b}{b}$ ，则△ABC面积的最大值为．

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三、解答题：

17. 等差数列{a_n}前n项和为S_n ，且S₅=45，S₆=60．

(1)、求{a_n}的通项公式a_n；

(2)、若数列{a_n}满足b_n₊₁﹣b_n=a_n（n∈N^*）且b₁=3，求{ $\frac{1}{b_{n}}$ }的前n项和T_n ．

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18. 某校开展“读好书，好读书”活动，要求本学期每人至少读一本课外书，该校高一共有100名学生，他们本学期读课外书的本数统计如图所示．
（Ⅰ）求高一学生读课外书的人均本数；
（Ⅱ）从高一学生中任意选两名学生，求他们读课外书的本数恰好相等的概率；
（Ⅲ）从高一学生中任选两名学生，用ζ表示这两人读课外书的本数之差的绝对值，求随机变量ζ的分布列及数学期望E．

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19. 在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，CA=CB，侧面ABB₁A₁是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA_l ， A₁B₁上，且AE= $\frac{1}{2}$ ，A₁F= $\frac{3}{4}$ ，CE⊥EF，M为AB中点
（Ⅰ）证明：EF⊥平面CME；
（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC₁与平面CEF所成角的正弦值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，右焦点为F．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线l与椭圆C相切于点P（不为椭圆C的左、右顶点），直线l与直线x=2交于点A，直线l与直线x=﹣2交于点B，请问∠AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{x^{2} + a x - \ln x}{e^{x}}$ （其中e是自然对数的底数，a∈R）．
（Ⅰ）若曲线f（x）在x=l处的切线与x轴不平行，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的最大值．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．
（Ⅰ）求直角坐标下圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点P（l，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的值．

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23. 已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．

(1)、解不等式|g（x）|＜5；

(2)、若对任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

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