2016-2017学年山东省临沂市高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 在△ABC中，若a=2，b=2 $\sqrt{3}$ ， A=30°则B为（　　）

A、60° B、60°或120° C、30° D、30°或150°

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2. 已知等差数列{a_n}中，a₂=7，a₄=15，则前10项的和S₁₀=（　　）

A、100 B、210 C、380 D、400

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3. 已知向量 $\vec{a}$ =（2m+1，3，m﹣1）， $\vec{b}$ =（2，m，﹣m），且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则实数m的值等于（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、﹣2 C、0 D、 $\frac{3}{2}$ 或﹣2

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4. 已知两点F₁（﹣2，0），F₂（2，0），且|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{16}$ + $\frac{y^{2}}{9}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{16}$ + $\frac{y^{2}}{12}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{3}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{3}$ + $\frac{y^{2}}{4}$ =1

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5. 关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是（）

A、（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B、（1，3） C、（﹣1，3） D、（﹣∞，1）∪（3，+∞）

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6. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b²+c²=a²+bc．若sin B•sin C=sin²A，则△ABC的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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7. 已知不等式组 ${\begin{matrix} y \leq 5 \\ 2 x - y + 3 \leq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域为D，若∀（x，y）∈D，|x|+2y≤a为真命题，则实数a的取值范围是（）

A、[10，+∞） B、[11，+∞） C、[13，+∞） D、[14，+∞）

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8. 已知正项等比数列{a_n}满足：a₃=a₂+2a₁ ，若存在两项a_m ， a_n ，使得 $\sqrt{a_{m} a_{n}} = 4 a_{1}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{25}{6}$ D、不存在

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9. “双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）”是“双曲线C的渐近线方程为y= $\pm \frac{b}{a} x$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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10. 若正数a，b满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ， $\frac{1}{a - 1} + \frac{9}{b - 1}$ 的最小值为（）

A、1 B、6 C、9 D、16

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11. 如图，多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形，AD=AB=2， $\vec{A B}$ • $\vec{A D}$ =0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2，则二面角A﹣PB﹣E的大小为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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12. 双曲线C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左焦点F₁作曲线C₂：x²+y²=a²的切线，设切点为M，延长F₁M交曲线C₃：y²=2px（p＞0）于点P，其中C₁与C₃有一个共同的焦点，若M为F₁P的中点，则双曲线C₁的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

13. 在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosA= $\frac{4}{5}$ ，b=2，△ABC的面积S=3，则边a的值为．

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14. 已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₃=0，S₅=﹣5，数列{ $\frac{1}{a_{2 n - 1} a_{2 n + 1}}$ }的前2016项的和为

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15. 已知命题p：∀x∈[1，2]，x²﹣a≥0；命题q：∃x₀∈R，使得 $x_{0}^{2}$ +（a﹣1）x₀+1＜0．若“p或q”为真，“p且q”为假，则实数a的取值范围

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16. 已知m，n，s，t∈R⁺ ， m+n=2， $\frac{m}{s}$ + $\frac{n}{t}$ =9，其中m，n是常数，当s+t取最小值 $\frac{4}{9}$ 时，m，n对应的点（m，n）是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2}$ =1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程．

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三、解答题

17. 已知命题p：实数x满足x²﹣5ax+4a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 ${\begin{matrix} x^{2} - 2 x - 8 \leq 0 \\ x^{2} + 3 x - 10 > 0 \end{matrix}$ ．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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18. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos²A= $\frac{4}{3}$ a．

(1)、求 $\frac{b}{a}$ ；

(2)、若c²=a²+ $\frac{1}{4}$ b² ，求角C．

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19. 已知在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，M，N分别是BC，AE，D₁C的中点，AD=AA₁ ， AB=2AD．
（Ⅰ）证明：MN∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角θ的正弦值．

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20. 北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

(1)、据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)、为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入 $\frac{1}{6} (x^{2} - 600)$ 万作为技改费用，投入（50+2x）万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

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21. 在数列{a_n}，{b_n}中，已知a₁=2，b₁=4，且﹣a_n ， b_n ， a_n₊₁成等差数列，﹣b_n ， a_n ， b_n₊₁也成等差数列．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+b_n}和{a_n﹣b_n}都是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=（a_n﹣3ⁿ）log₃[a_n﹣（﹣1）ⁿ]，求数列{c_n}的前n项和T_n ．

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左，右焦点分别是F₁ ， F₂ ，以F₁为圆心以3为半径的圆与以F₂为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）线段PQ是椭圆C过点F₂的弦，且 $\vec{P F_{2}}$ =λ $\vec{F_{2} Q}$ ．
（i）求△PF₁Q的周长；
（ii）求△PF₁Q内切圆面积的最大值，并求取得最大值时实数λ的值．

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