2016-2017学年江西省抚州市高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 如图程序输出的结果是（）

A、3，4 B、4，4 C、3，3 D、4，3

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2. 命题：“∃x₀＞0，使2 $^{x_{0}}$ ＞10”，这个命题的否定是（）

A、∀x＞0，使2^x＞10 B、∀x＞0，使2^x≤10 C、∀x≤0，使2^x≤10 D、∀x≤0，使2^x＞10

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3. 如图所示的流程图，最后输出n的值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 表是某工厂1﹣4月份用电量（单位：万度）的一组数据
月份x
1
2
3
4
用电量y
4.5
4
3
2.5
由表可知，用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是 $\hat{y}$ ═﹣0.6x+a，则a等于（）

A、5.1 B、4.8 C、5 D、5.2

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5. 由经验得知，在学校食堂某窗口处排队等候打饭的人数及其概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
则至多2个人排队的概率为（）

A、0.56 B、0.44 C、0.26 D、0.14

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6. “0＜m＜3”是“方程 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m}$ =1表示离心率大于 $\frac{1}{2}$ 的椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 设函数f（x）= $\frac{x}{x + 1}$ （x＞0），记f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），f_n₊₁（x）=f[f_n（x）]．则f₂₀₁₇（x）等于（）

A、 $\frac{x}{2017 x + 1}$ B、 $\frac{x}{x + 2017}$ C、 $\frac{2017 x}{2017 x + 1}$ D、 $\frac{2017 x + 1}{x}$

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9. 三棱锥S﹣ABC中，∠ASB=∠ASC=90°，∠BSC=60°，SA=SB=SC=2，点G是△ABC的重心，则| $\vec{S G}$ |等于（）

A、4 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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10. 下列命题：
①“若a²＜b² ，则a＜b”的否命题；
②“全等三角形面积相等”的逆命题；
③“若a＞1，则ax²﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；
④“若 $\sqrt{3}$ x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中正确的命题是（）

A、③④ B、①③ C、①② D、②④

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11. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁B₁BA，且AA₁=AB=BC=2，则AC与平面A₁BC所成角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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12. 已知F₁、F₂是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P是双曲线C上一点，且|PF₁|+|PF₂|=6a，△PF₁F₂的最小内角为30°，则双曲线C的离心率e为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3}$ $\sqrt{3}$

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二、填空题

13. 已知平面β的法向量是（2，3，﹣1），直线l的方向向量是（4，λ，﹣2），若l∥β，则λ的值是．

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14. 命题“∃x∈（0，+∞），x²﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为．

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15. 已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0且a，b为常数）上关于y轴对称的两点，P是椭圆上的左顶点，且直线PM，PN的斜率都存在（记为k_PM ， k_PN），则k_PM•k_PN= $\frac{b^{2}}{a^{2}}$ ．类比上述性质，可以得到双曲线的一个性质，并根据这个性质得：若M，N是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）上关于y轴对称的两点，P是双曲线C的左顶点，直线PM，PN的斜率都存在（记为k_PM ， k_PN），双曲线的离心率e= $\sqrt{5}$ ，则k_PM•k_PN等于．

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16. 已知△ABC是一个面积较大的三角形，点P是△ABC所在平面内一点且 $\vec{P B}$ + $\vec{P C}$ +2 $\vec{P A}$ = $\vec{0}$ ，现将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC内的黄豆数大约是．

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三、解答题

17. 设命题p：m∈{x|x²+（a﹣8）x﹣8a≤0}，命题q：方程 $\frac{x^{2}}{m - 3} + \frac{y^{2}}{5 - m}$ =1表示焦点在x轴上的双曲线．

(1)、若当a=1时，命题p∧q假命题，p∨q”为真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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18. 调查某车间20名工人的年龄，第i名工人的年龄为ai，具体数据见表：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
a_i
29
28
30
19
31
28
30
28
32
31
30
31
29
29
31
32
40
30
32
30

(1)、作出这20名工人年龄的茎叶图；

(2)、求这20名工人年龄的众数和极差；

(3)、执行如图所示的算法流程图（其中 $\vec{a}$ 是这20名工人年龄的平均数），求输出的S值．

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19. 已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n₊₁= $\frac{n a_{n} - 1}{n + 1}$ （n∈N₊）．

(1)、计算a₂ ， a₃ ， a₄ ，并猜测出{a_n}的通项公式；

(2)、用数学归纳法证明（1）中你的猜测．

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20. 四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，PD=1，AB= $\sqrt{5}$ ，BC=CD= $\sqrt{2}$ ，AD=1．

(1)、求异面直线AB、PC所成角的余弦值；

(2)、点E是线段AB的中点，求二面角E﹣PC﹣D的大小．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率e= $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，左顶点、上顶点分别为A，B，△OAB的面积为3（点O为坐标原点）．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若P、Q分别是AB、椭圆C上的动点，且 $\vec{O P}$ =λ $\vec{O Q}$ （λ＜0），求实数λ的取值范围．

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22. 已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）与双曲线C₂： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0．b＞0）有公共焦点F，且在第一象限的交点为P（3，2 $\sqrt{6}$ ）．

(1)、求抛物线C₁ ，双曲线C₂的方程；

(2)、过点F且互相垂直的两动直线被抛物线C₁截得的弦分别为AB，CD，弦AB、CD的中点分别为G、H，探究直线GH是否过定点，若GH过定点，求出定点坐标；若直线GH不过定点，说明理由．

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i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
a_i	29	28	30	19	31	28	30	28	32	31	30	31	29	29	31	32	40	30	32	30

月份x	1	2	3	4
用电量y	4.5	4	3	2.5

排队人数	0	1	2	3	4	5人以上
概率	0.1	0.16	0.3	0.3	0.1	0.04

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
a_i	29	28	30	19	31	28	30	28	32	31	30	31	29	29	31	32	40	30	32	30

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
a_i	29	28	30	19	31	28	30	28	32	31	30	31	29	29	31	32	40	30	32	30