安徽省江淮十校2018届高三理数第三次（4月）联考试卷

试卷更新日期：2018-10-12 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} + x - 2 < 0}$ ， $N = {y | y = x^{2} - 1 ， x \in R}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x < 1}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | - 1 \leq x < 1}$ D、 ${x | 1 \leq x < 2}$

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2. 已知 $i^{2018} (m + n i) = 5 - 4 i$ $(m ， n \in R)$ ，则关于复数 $z = m + n i$ 的说法，正确的是（）

A、复数 $z$ 的虚部为 $- 4$ B、 $| z | = \sqrt{41}$ C、 $\bar{z} = - 5 + 4 i$ D、复数 $z$ 所对应的点位于复平面的第四象限

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3. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 最小正周期为 $π$ ，为了得到函数 $g (x) = cos ω x$ 的图象，只要将 $f (x)$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度

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4. 下列命题中，真命题是（）

A、 $\forall x \in R$ ，有 $ln (x + 1) > 0$ B、 ${sin}^{2} x + \frac{2}{sin x} \geq 3$ $(x \neq k π ， k \in Z)$ C、函数 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ 有两个零点 D、 $a > 1$ ， $b > 1$ 是 $a b > 1$ 的充分不必要条件

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5. 若 $a = 3^{0.3}$ ， $b = ln 2$ ， $c = {log}_{2} cos \frac{π}{6}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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6. 若双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1$ 的离心率为 $2$ ，则双曲线的渐近线方程是（）

A、 $2 x \pm y = 0$ B、 $x \pm 2 y = 0$ C、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ D、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$

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7. 执行如图所示的程序框图，当输入的 $x \in [0 ， 5]$ 时，输出的结果不大于 $75$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} 2 x - y + 2 \geq 0 \\ x + 2 y + 1 \geq 0 \\ 3 x + y - 2 \leq 0 \end{matrix}$ ，若直线 $y = k (x + 1)$ 把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提出如下问题：“今有刍童，下广两丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛，下底（指面积较小的长方形）宽 $2$ 丈，长 $3$ 丈；上底（指面积较大的长方形）宽 $3$ 丈，长 $4$ 丈；高 $3$ 丈.问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图所示，则该几何体的体积为（）立方丈.

A、 $\frac{53}{2}$ B、 $24$ C、 $27$ D、 $18 + 6 \sqrt{2}$

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10. 若直角坐标系内 $A$ 、 $B$ 两点满足：（1）点 $A$ 、 $B$ 都在 $f (x)$ 图象上；（2）点 $A$ 、 $B$ 关于原点对称，则称点对 $(A ， B)$ 是函数 $f (x)$ 的一个“和谐点对”， $(A ， B)$ 与 $(B ， A)$ 可看作一个“和谐点对”.已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2 x (x < 0) \\ \frac{2}{e^{x}} (x \geq 0) \end{matrix}$ ，则 $f (x)$ 的“和谐点对”有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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11. 设函数 $f (x) = e^{x} - x$ ， $g (x) = a x + b$ ，如果 $f (x) \geq g (x)$ 在 $R$ 上恒成立，则 $a + b$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{e}$ B、 $\frac{e}{3} + 1$ C、 $1$ D、 $e - 1$

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12. 用 $6$ 种不同的颜色对正四棱锥的 $8$ 条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（）

A、 $14400$ B、 $28800$ C、 $38880$ D、 $43200$

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二、填空题

13. 已知 $| \overset{⇀}{a} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{b} | = \sqrt{2}$ ，且 $(2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}$ 与向量 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角是．

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14. 在 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3}$ $+ \cdot \cdot \cdot + {(1 + x)}^{10}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是．

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15. 设 $P$ 为曲线 $C_{1}$ 上的动点， $Q$ 为曲线 $C_{2}$ 上的动点，则称 $| P Q |$ 的最小值为曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 之间的距离，记作 $d (C_{1} ， C_{2})$ .若 $C_{1}$ ： $e^{x} - 2 y = 0$ ， $C_{2}$ ： $ln x + ln 2 = y$ ，则 $d (C_{1} ， C_{2}) =$ ．

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16. 在 $Δ A B C$ 中，设 $b$ ， $c$ 分别表示角 $B$ ， $C$ 所对的边， $A D$ 为边 $B C$ 上的高.若 $A D = B C$ ，则 $\frac{c}{b}$ 的最大值是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和 $T_{n} = \frac{3}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ ，且 $a_{n} + 1 + 3 {log}_{2} b_{n} = 0 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项的和 $S_{n}$ .

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18. 四棱锥 $A - B C D E$ 中， $E B / / D C$ ，且 $E B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E B = 1$ ， $D C = B C = A B = A C = 2$ ， $F$ 是棱 $A D$ 的中点.

(1)、证明： $E F ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、求二面角 $B - A E - D$ 的余弦值.

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19. 近年电子商务蓬勃发展， $2017$ 年某网购平台“双 $11$ ”一天的销售业绩高达 $1682$ 亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出 $200$ 次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为 $0.70$ ，对快递的满意率为 $0.60$ ，其中对商品和快递都满意的交易为 $80$ 次.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ 为样本容量）
$P (K^{2} \geq k)$
$0.15$
$0.10$
$0.05$
$0.025$
$0.010$
$k$
$2.072$
$2.706$
$3.841$
$5.024$
$6.635$

(1)、根据已知条件完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并回答能否有 $99 %$ 的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？

对快递满意
对快递不满意
合计
对商品满意
$80$

对商品不满意

合计

$200$

(2)、若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的 $3$ 次购物中，设对商品和快递都满意的次数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E X$ .

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20. 已知离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆 $C$ 焦点在 $y$ 轴上，且椭圆 $4$ 个顶点构成的四边形面积为 $4$ ，过点 $M (0 ， 3)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于不同的两点 $A$ 、 $B$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $P$ 为椭圆上一点，且 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} = λ \overset{⇀}{O P}$ （ $O$ 为坐标原点）.求当 $| A B | < \sqrt{3}$ 时，实数 $λ$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a x}{ln x}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在点 $(e^{2} ， f (e^{2}))$ 处的切线与直线 $2 x + y = 0$ 垂直，求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若方程 $f (x) = 1$ 有两个不相等的实数解 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2 e$ .

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22. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} c o s θ \\ y = s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 sin (θ + \frac{π}{6})$ .

(1)、写出曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若射线 $O M$ ： $θ = α_{0} (ρ \geq 0)$ 平分曲线 $C_{2}$ ，且与曲线 $C_{1}$ 交于点 $A$ ，曲线 $C_{1}$ 上的点 $B$ 满足 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ，求 $| A B |$ .

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23. 设函数 $f (x) = | x - 1 | (x \in R)$ .

(1)、求不等式 $f (x - 1) + f (x) \leq 5$ 的解集；

(2)、若不等式 $g (x) = f (x) + f (2 x - a) \geq 3$ 的解集是 $R$ ，求正整数 $a$ 的最小值.

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$P (K^{2} \geq k)$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$
$k$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$

	对快递满意	对快递不满意	合计
对商品满意	$80$
对商品不满意
合计			$200$