2016-2017学年湖北省荆门高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 倾斜角为120°且在y轴上的截距为﹣2的直线方程为（）

A、y=﹣ $\sqrt{3}$ x+2 B、y=﹣ $\sqrt{3}$ x﹣2 C、y= $\sqrt{3}$ x+2 D、y= $\sqrt{3}$ x﹣2

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2. 抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（）

A、至多有2件次品 B、至多有1件次品 C、至多有2件正品 D、至多有1件正品

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3. 某校拟从高一年级、高二年级、高三年级学生中抽取一定比例的学生调查对“荆马”（荆门国际马拉松）的了解情况，则最合理的抽样方法是（）

A、抽签法 B、系统抽样法 C、分层抽样法 D、随机数法

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4. 已知直线l₁：ax﹣y+a=0，l₂：（2a﹣3）x+ay﹣a=0互相平行，则a的值是（）

A、1 B、﹣3 C、1或﹣3 D、0

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5. 已知变量x服从正态分布N（4，σ²），且P（x＞2）=0.6，则P（x＞6）=（）

A、0.4 B、0.3 C、0.2 D、0.1

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6. 圆（x+2）²+y²=2016关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（）

A、（x﹣2）²+y²=2016 B、x²+（y﹣2）²=2016 C、（x+1）²+（y+1）²=2016 D、（x﹣1）²+（y﹣1）²=2016

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7. 执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）

A、2 B、 $\frac{1}{3}$ C、﹣ $\frac{1}{2}$ D、﹣3

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8. 下列说法中，错误的一个是（）

A、将23_（₁₀_）化成二进位制数是10111_（₂_） B、在空间坐标系点M（1，2，3）关于x轴的对称点为（1，﹣2，﹣3） C、数据：2，4，6，8的方差是数据：1，2，3，4的方差的2倍 D、若点A（﹣1，0）在圆x²+y²﹣mx+1=0的外部，则m＞﹣2

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9. 如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x代替，则这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为（）

A、 $\frac{2}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{6}{10}$ D、 $\frac{7}{10}$

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10. 设P为直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x²+y²﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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11. 在以“菊韵荆门，荣耀中华”为主题的“中国•荆门菊花展”上，工作人员要将6盆不同品种的菊花排成一排，其中甲，乙在丙同侧的不同排法种数为（）

A、120 B、240 C、360 D、480

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12. 已知等边△ABC的边长为2 $\sqrt{3}$ ，动点P、M满足| $\vec{A P}$ |=1， $\vec{P M} = \vec{M C}$ ，则| $\vec{B M}$ |²的最小值是（）

A、 $\frac{25}{4}$ B、 $\frac{31}{4}$ C、 $\frac{37 - 6 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{37 - 2 \sqrt{33}}{4}$

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二、填空题

13. 执行如图程序，若输出的结果是4，则输入的x的值是．

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14. 把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P（B|A）= ．

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15. 以点（2，﹣3）为圆心且与直线2mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程为．

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16. 由计算机产生2n个0～1之间的均匀随机数x₁ ， x₂ ， …x_n ， y₁ ， y₂ ， …y_n ，构成n个数对（x₁ ， y₁），（x₂y₂），…（x_n ， y_n）其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为．

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三、解答题

17. 已知（ $\sqrt{x}$ + $\frac{2}{\sqrt{x}}$ ）ⁿ展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）此展开式中是否有常数项？为什么？

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18. 已知△ABC中，A（1，3），BC边所在的直线方程为y﹣1=0，AB边上的中线所在的直线方程为x﹣3y+4=0．
（Ⅰ）求B，C点的坐标；
（Ⅱ）求△ABC的外接圆方程．

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19. 某网站对“爱飞客”飞行大会的日关注量x（万人）与日点赞量y（万次）进行了统计对比，得到表格如下：
x
3
5
6
7
9
y
2
3
3
4
5
由散点图象知，可以用回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 来近似刻画它们之间的关系．
（Ⅰ）求出y关于x的回归直线方程，并预测日关注量为10万人时的日点赞量；
（Ⅱ）一个三口之家参加“爱飞客”亲子游戏，游戏规定：三人依次从装有3个白球和2个红球的箱子中不放回地各摸出一个球，大人摸出每个红球得奖金10元，小孩摸出1个红球得奖金50元．求该三口之家所得奖金总额不低于50元的概率．
参考公式：b= $\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \cdot {\bar{x}}^{2}}$ ；参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$ =200， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$ =112．

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20. 已知圆C：（x﹣3）²+（y﹣4）²=4．
（Ⅰ）若直线l过点A（2，3）且被圆C截得的弦长为2 $\sqrt{3}$ ，求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线l过点B（1，0）与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．

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21. 为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．
（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；
优分
非优分
总计
男生
女生
总计
50
（ii）据列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“学科成绩与性别有关”？
（Ⅱ）将频率视作概率，从高二年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的分布列与数学期望．
参考公式：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （n=a+b+c+d）．
参考数据：
P（K²≥k₀）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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22. 已知长为2的线段A B两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）点P（x，y）是曲线C上的动点，求3x﹣4y的取值范围；
（Ⅲ）已知定点Q（0， $\frac{2}{3}$ ），探究是否存在定点T（0，t）（t $\neq \frac{2}{3}$ ）和常数λ满足：对曲线C上任意一点S，都有|ST|=λ|SQ|成立？若存在，求出t和λ；若不存在，请说明理由．

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P（K²≥k₀）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	优分	非优分	总计
男生
女生
总计			50