重庆市2018届高三理数4月（二诊）调研测试试卷

试卷更新日期：2018-10-12 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | {log}_{2} x < 1}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 2}$ C、 ${2}$ D、 ${- 1 ， 0}$

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2. 复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = 3 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $\frac{1}{5} - i$ D、 $\frac{1}{5} + i$

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} = 7$ ， $S_{3} = 12$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、 $10$ B、 $28$ C、 $30$ D、 $145$

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4. “ $cos 2 α = \frac{1}{2}$ ”是“ $α = k π + \frac{π}{6} (k \in Z)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知定义域为 $I$ 的偶函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，且 $\exists x_{0} \in I$ ， $f (x_{0}) < 0$ ，则下列函数中符合上述条件的是（）

A、 $f (x) = x^{2} + | x |$ B、 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ C、 $f (x) = {log}_{2} | x |$ D、 $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$

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6. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | = 3$ 且 $\overset{⇀}{b} = (0 ， - 1)$ ，若向量 $\overset{⇀}{a}$ 在向量 $\overset{⇀}{b}$ 方向上的投影为 $- 2$ ，则 $| \overset{⇀}{a} | =$ （）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4$ D、 $12$

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7. 中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“ $菱形$ ”处应填入（）

A、 $\frac{a - 2}{21} \in Z$ B、 $\frac{a - 2}{15} \in Z$ C、 $\frac{a - 2}{7} \in Z$ D、 $\frac{a - 2}{3} \in Z$

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 3$ ，两个圆的半径都是1，且圆心 $O_{1}$ ， $O_{2}$ 均在对方的圆周上，在矩形 $A B C D$ 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{2 π + \sqrt{3}}{12}$ B、 $\frac{4 π - 2 \sqrt{3}}{24}$ C、 $\frac{10 π - 6 \sqrt{3}}{36}$ D、 $\frac{8 π + 3 \sqrt{3}}{36}$

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9. 设函数 $y = 6 cos x$ 与 $y = 5 tan x$ 的图象在 $y$ 轴右侧的第一个交点为 $A$ ，过点 $A$ 作 $y$ 轴的平行线交函数 $y = sin 2 x$ 的图象于点 $B$ ，则线段 $A B$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{14 \sqrt{5}}{9}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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10. 某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）

A、 $18$ B、 $8 + 8 \sqrt{3}$ C、 $24$ D、 $12 + 6 \sqrt{5}$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线的左支上， $P F_{2}$ 与双曲线的右支交于点 $Q$ ，若 $Δ P F_{1} Q$ 为等边三角形，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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12. 已知函数 $f (x) = ln x + a$ ， $g (x) = a x + b + 1$ ，若 $\forall x > 0$ ， $f (x) \leq g (x)$ ，则 $\frac{b}{a}$ 的最小值是（）

A、 $1 + e$ B、 $1 - e$ C、 $e^{- 1}$ D、 $2 e^{- 1}$

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二、填空题

13. 某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组 $1 ~ 20$ 号，第二组 $21 ~ 40$ 号，…，第五组 $81 ~ 100$ 号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为．

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14. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} x - 3 y + 3 \geq 0 ， \\ x + y - 1 \geq 0 ， \\ x - y - 1 \leq 0 ， \end{matrix}$ 若目标函数 $z = a x + y$ 在点 $(3 ， 2)$ 处取得最大值，则实数 $a$ 的取值范围为．

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15. 根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为（用数字作答）．

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16. 设集合 $A = {(x ， y) | {(x + 3 sin α)}^{2} + {(y + 3 cos α)}^{2} = 1 ， α \in R}$ ， $B = {(x ， y) | 3 x + 4 y + 10 = 0}$ ，记 $P = A \cap B$ ，则点集 $P$ 所表示的轨迹长度为．

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三、解答题

17. 设函数 $f (x) = cos (2 x - \frac{π}{6}) - 2 sin x cos x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、在 $Δ A B C$ 中，若 $A B = 4$ ， $f (\frac{C}{2}) = \frac{1}{2}$ ，求 $Δ A B C$ 的外接圆的面积．

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18. 重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“1元/公里 $+$ 0.2元/分钟”．刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他：“上下班往返总路程虽然只有10公里，但偶尔开车上下班总共也需花费大约1小时”，并将自己近50天的往返开车的花费时间情况统计如表：
将老李统计的各时间段频率视为相应概率，假定往返的路程不变，而且每次路上开车花费时间视为用车时间．

(1)、试估计小刘每天平均支付的租车费用（每个时间段以中点时间计算）；

(2)、小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟，租用“共享吉利博瑞车”为他该日的“最优选择”，小刘拟租用该车上下班2天，设其中有 $ξ$ 天为“最优选择”，求 $ξ$ 的分布列和数学期望．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C$ ， $C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ ，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 是正方形，点 $E$ 为棱 $A B$ 的中点，点 $M$ 、 $N$ 分别在棱 $A_{1} B_{1}$ 、 $A A_{1}$ 上，且 $A_{1} M = \frac{3}{8} {，即可得出答案。A}_{1} B_{1}$ ， $A N = \frac{1}{4} A A_{1}$ ．

(1)、证明：平面 $C M N ⊥$ 平面 $C E N$ ；

(2)、若 $A C ⊥ B C$ ，求二面角 $M - C N - A_{1}$ 的余弦值．

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20. 椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，左右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $P$ 为椭圆 $E$ 上的动点（不与 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 重合），且直线 $P A_{1}$ 与 $P A_{2}$ 的斜率的乘积为 $- \frac{3}{4}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ （均不与 $x$ 轴重合）分别与椭圆 $E$ 交于 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点，线段 $A B$ 、 $C D$ 的中点分别为 $M$ 、 $N$ ，求证：直线 $M N$ 过定点，并求出该定点坐标．

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21. 已知函数 $f (x) = ln x$ ， $g (x) = a x^{2} + b x$ （ $a \neq 0$ ， $b \in R$ ）.

(1)、若 $a = 2$ ， $b = 3$ ，求函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有两个不同的交点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ ， $(x_{2} ， f (x_{2}))$ ，记 $x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ，记 $f' (x)$ ， $g' (x)$ 分别是 $f (x)$ ， $g (x)$ 的导函数，证明： $f' (x_{0}) < g' (x_{0})$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t^{2} ， \\ y = 2 t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 5 cos θ$ ．

(1)、写出曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、记曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 在第一象限内的交点为 $A$ ，点 $B$ 在曲线 $C_{1}$ 上，且 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ，求 $Δ A O B$ 的面积．

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23. 不等式选讲，已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | x - a^{2} |$ ．

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq a$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若正实数 $m$ ， $n$ 满足 $m + 2 n = a$ ，当 $a$ 取（1）中最大值时，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值．

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