重庆市2018届高三文数4月（二诊）调研测试试卷

试卷更新日期：2018-10-12 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | {log}_{2} x < 1}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 2}$ C、 ${2}$ D、 ${- 1 ， 0}$

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2. 复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = 3 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $\frac{1}{5} - i$ D、 $\frac{1}{5} + i$

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} = 7$ ， $S_{3} = 12$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、 $10$ B、 $28$ C、 $30$ D、 $145$

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4. 已知两个非零向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 互相垂直，若向量 $\overset{⇀}{m} = 4 \overset{⇀}{a} + 5 \overset{⇀}{b}$ 与 $\overset{⇀}{n} = 2 \overset{⇀}{a} + λ \overset{⇀}{b}$ 共线，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $5$ B、 $3$ C、 $2.5$ D、 $2$

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5. “ $cos 2 α = \frac{1}{2}$ ”是“ $α = k π + \frac{π}{6} (k \in Z)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 $x \in [- 2 ， 2]$ ，则输出的 $y$ 值的取值范围是（）

A、 $y \leq - \frac{5}{2}$ 或 $y \geq 0$ B、 $- 2 \leq y \leq \frac{2}{3}$ C、 $y \leq - 2$ 或 $0 \leq y \leq \frac{2}{3}$ D、 $y \leq - 2$ 或 $y \geq \frac{2}{3}$

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7. 曲线 $x y - x + 2 y - 5 = 0$ 在点 $A (1 ， 2)$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）

A、 $9$ B、 $\frac{49}{6}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{11}{3}$

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8. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $y = f (x)$ 满足 $f (2 + x) = f (- x)$ ，且 $f (1) = 2$ ，则 $f (2018) + f (2019)$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $0$ C、 $2$ D、 $4$

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 3$ ，两个圆的半径都是1，且圆心 $O_{1}$ ， $O_{2}$ 均在对方的圆周上，在矩形 $A B C D$ 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{2 π + \sqrt{3}}{12}$ B、 $\frac{4 π - 2 \sqrt{3}}{24}$ C、 $\frac{10 π - 6 \sqrt{3}}{36}$ D、 $\frac{8 π + 3 \sqrt{3}}{36}$

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10. 设函数 $y = 6 cos x$ 与 $y = 5 tan x$ 的图象在 $y$ 轴右侧的第一个交点为 $A$ ，过点 $A$ 作 $y$ 轴的平行线交函数 $y = sin 2 x$ 的图象于点 $B$ ，则线段 $A B$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{14 \sqrt{5}}{9}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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11. 某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）

A、 $18$ B、 $8 + 8 \sqrt{3}$ C、 $24$ D、 $12 + 6 \sqrt{5}$

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12. 设集合 $A = {(x ， y) | {(x + 3 sin α)}^{2} + {(y + 3 cos α)}^{2} = 1 ， α \in R}$ ， $B = {(x ， y) | 3 x + 4 y + 10 = 0}$ ，记 $P = A \cap B$ ，则点集 $P$ 所表示的轨迹长度为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组 $1 ~ 20$ 号，第二组 $21 ~ 40$ 号，…，第五组 $81 ~ 100$ 号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为．

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14. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} x - 3 y + 3 \geq 0 ， \\ x + y - 1 \geq 0 ， \\ x - y - 1 \leq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最大值为．

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15. 边长为2的等边 $Δ A B C$ 的三个顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在以 $O$ 为球心的球面上，若球 $O$ 的表面积为 $\frac{148 π}{3}$ ，则三棱锥 $O - A B C$ 的体积为．

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0)$ ）的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线的左支上， $P F_{2}$ 与双曲线右支交于点 $Q$ ，若 $Δ P F_{1} Q$ 为等边三角形，则该双曲线的离心率是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $S_{n} = \frac{1}{3} (n + 2) a_{n}$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求证： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < 1$ ．

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18. 某城镇社区为了丰富辖区内广大居民的业余文化生活，创建了社区“文化丹青”大型活动场所，配备了各种文化娱乐活动所需要的设施，让广大居民健康生活、积极向上．社区最近四年内在“文化丹青”上的投资金额统计数据如表：（为了便于计算，把2015年简记为5，其余以此类推）
年份 $x$ （年）
5
6
7
8
投资金额 $y$ （万元）
15
17
21
27
（附：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，…， $(x_{n} ， y_{n})$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．）

(1)、利用所给数据，求出投资金额 $y$ 与年份 $x$ 之间的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、预测该社区在2019年在“文化丹青”上的投资金额．

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19. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ ， $N$ ， $O$ 分别为棱 $A C_{1}$ ， $A B$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证：直线 $M N / /$ 平面 $A O B_{1}$ ；

(2)、若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $10 \sqrt{3}$ ，求三棱锥 $A - M O N$ 的体积．

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20. 如图，已知 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ 是椭圆 $C$ 的左右焦点， $B$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，直线 $P F_{1}$ 与 $y$ 轴的交点为 $M$ ， $O$ 为坐标原点，且 $| P M | = | F_{2} M |$ ， $| O M | = \frac{3}{4}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $B$ 作两条互相垂直的直线分别与椭圆 $C$ 交于 $S$ ， $T$ 两点（异于点 $B$ ），证明：直线 $S T$ 过定点，并求该定点的坐标．

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21. 已知函数 $f (x) = (\frac{3}{x} - 1) e^{x} + \frac{a}{x}$ （ $x > 0$ ， $a \in R$ ）．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a \in (- 3 ， - e)$ 时，判断关于 $x$ 的方程 $f (x) = 2$ 的解的个数．

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22. 坐标系与参数方程在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t^{2} ， \\ y = 2 t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 5 cos θ$ ．

(1)、写出曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、记曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 在第一象限内的交点为 $A$ ，点 $B$ 在曲线 $C_{1}$ 上，且 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ，求 $Δ A O B$ 的面积．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | x - a^{2} |$ ．

(1)、（1）

(2)、若正实数 $m$ ， $n$ 满足 $m + 2 n = a$ ，当 $a$ 取（1）中最大值时，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值．

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年份 $x$ （年）	5	6	7	8
投资金额 $y$ （万元）	15	17	21	27