新疆维吾尔自治区2018届高三理数第二次适应性检测试卷

试卷更新日期：2018-10-12 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合 $M = {x | x < 1}$ ， $N = {x | 2^{x} 〉 1}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | 0 < x < 1}$ C、 ${x | x < 0}$ D、 $R$

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2. $a$ 为实数 $\frac{1 + 2 i}{a + i}$ 为实数，则 $a$ =（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- 2$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点不共线，且点 $O$ 满足 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C} = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\overset{⇀}{O A} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{B C}$ B、 $\overset{⇀}{O A} = - \frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{3} \overset{⇀}{B C}$ C、 $\overset{⇀}{O A} = - \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{2}{3} \overset{⇀}{B C}$ D、 $\overset{⇀}{O A} = \frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{B C}$

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4. 若函数 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像向右平移 $φ$ $(φ > 0)$ 个单位后所得的函数为奇函数，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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5. 参加2018年自治区第一次诊断性测试的10万名理科考生的数学成绩 $ξ$ 近似地服从正态分布 $N (70 ， 25)$ ，估计这些考生成绩落在 $(75 ， 80]$ 的人数为（）
（附： $Z \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z \leq μ + σ) = 0.6826$ $P (μ - 2 σ < Z \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ）

A、311740 B、27180 C、13590 D、4560

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6. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）

A、 $\frac{125 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{125}{3} π$ C、 $\frac{1000 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{500}{3} π$

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7. 在 $Δ A B C$ 中，“ $A > 60 °$ ”是“ $sin A > \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \\ 3 x - y - 3 \leq 0 \end{matrix}$ ，则使不等式 $k x - y + k \leq 1$ 恒成立的实数 $k$ 的取值集合是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{4}]$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{8}]$

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9. 图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入 $m = 225$ ， $n = 135$ 则输出的 $m$ 的值为（）

A、5 B、25 C、45 D、35

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10. 已知点 $(m ， 8)$ 在幂函数 $f (x) = (m - 1) x^{n}$ 的图象上，设 $a = f (\frac{\sqrt{3}}{3}) ， b = f (ln π) ， c = f (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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11. 若 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{n}$ 展开式中含 $x$ 项的系数为-80，则 $n$ 等于（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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12. 若抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，其准线经过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点，点 $M$ 为这两条曲线的一个交点，且 $| M F | = p$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $2 + \sqrt{2}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

13. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在 $[2500 ， 3000)$ （元）月收入段应抽出人.

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14. 在直线 $x = 0$ ， $x = 1$ ， $y = 0$ ， $y = e + 1$ 围成的区域内撒一粒豆子，则落入 $x = 0$ ， $y = e + 1$ ， $y = e^{x} + 1$ 围成的区域内的概率为．

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15. 在一次数学测试中，甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学得了满分，他们四位同学对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一位同学说的是真话，据此，判断考满分的同学是．

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} x - [x] ， x \geq 0 \\ f (x + 1) ， x < 0 \end{matrix}$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[- 1.2] = - 2$ ， $[1.2] = 1$ ， $[1] = 1$ ，若直线 $x - k y + 1 = 0$ （ $k > 0$ ）与函数 $y = f (x)$ 的图象恰好有两个不同的交点，则 $k$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} + a_{3} + a_{8} = 9$ ， $a_{2} + a_{5} + a_{11} = 21$ .
（I）求数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ ；
（II）若 $c_{n} = 2^{a_{n} + 3}$ ，求数列 ${a_{n} \cdot c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 与侧面 $C B B_{1} C_{1}$ 都是菱形， $∠ A C C_{1} = ∠ C C_{1} B_{1} = 60 °$ ， $A C = 2$ ．
（Ⅰ）求证： $A B_{1} ⊥ C C_{1}$ ；
（Ⅱ）若 $A B_{1} = \sqrt{6}$ ，求平面 $C A B_{1}$ 与平面 $A_{1} A B_{1}$ 所成的锐二面角的余弦值．

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19. 甲乙两名运动员互不影响地进行四次设计训练，根据以往的数据统计，他们设计成绩均不低于8环（成绩环数以整数计），且甲乙射击成绩（环数）的分布列如下：
（I）求 $p$ ， $q$ 的值；
（II）若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率；
（III）若两个射手各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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20. 已知动点 $P$ 是圆 $G$ ： ${(x + \sqrt{6})}^{2} + y^{2} = 32$ 上的任意一点，点 $P$ 与点 $A (\sqrt{6} ， 0)$ 的连线段的垂直平分线和 $G P$ 相交于点 $Q$ .
（I）求点 $Q$ 的轨迹 $C$ 方程；
（II）过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 交轨迹 $C$ 于点 $E$ ， $F$ 两点，直线 $E F$ 与坐标轴不重合. $M$ 是轨迹 $C$ 上的一点，若 $Δ E F M$ 的面积是4，试问直线 $E F$ ， $O M$ 的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，否则，说明理由.

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21. 已知 $a \geq 0$ ，函数 $f (x) = (- x^{2} + 2 a x) e^{x}$ .
（I）当 $x$ 为何值时， $f (x)$ 取得最大值？证明你的结论；
（II）设 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上是单调函数，求 $a$ 的取值范围；
（III）设 $g (x) = (x - 1) e^{2 x}$ ，当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + 2 \sqrt{2} c o s θ ， \\ y = - 2 + 2 \sqrt{2 sin θ} \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立直角坐标系.
（I）求曲线 $C$ 的极坐标方程；
（II）过点 $P (2 ， 0)$ 作斜率为1直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，试求 $| P A | + | P B |$ 的值.

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23. 不等式选讲，设函数 $f (x) = | x - p |$ .
（I）当 $p = 2$ 时，解不等式 $f (x) \geq 4 - | x - 1 |$ ；
（II）若 $f (x) \geq 1$ 的解集为 $(- \infty ， 0] \cup [2 ， + \infty)$ ， $\frac{1}{m} + \frac{2}{n - 1} = p$ （ $m > 0$ ， $n > 1$ ），求证： $m + 2 n \geq 11$ .

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