上海市普陀区2018届高三下学期理数质量调研二模试卷

试卷更新日期：2018-10-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，若复数 ${(a + i)}^{2} i$ 为正实数，则实数 $a$ 的值为（）

A、2 B、1 C、0 D、-1

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2. 如图所示的几何体，其表面积为 $(5 + \sqrt{5}) π$ ，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为 $\sqrt{5}$ ，则该几何体的主视图的面积为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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3. 设 $S_{n}$ 是无穷等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和（ $n \in N^{*}$ ），则“ $lim_{n \to \infty} S_{n}$ 存在”是
“该数列公差 $d = 0$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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4. 已知 $k \in N^{*}$ ， $x ， y ， z \in R^{+}$ ，若 $k (x y + y z + z x) > 5 (x^{2} + y^{2} + z^{2})$ ，则对此不等式描叙正确的是（）

A、若 $k = 5$ ，则至少存在一个以 $x ， y ， z$ 为边长的等边三角形 B、若 $k = 6$ ，则对任意满足不等式的 $x ， y ， z$ 都存在以 $x ， y ， z$ 为边长的三角形 C、若 $k = 7$ ，则对任意满足不等式的 $x ， y ， z$ 都存在以 $x ， y ， z$ 为边长的三角形 D、若 $k = 8$ ，则对满足不等式的 $x ， y ， z$ 不存在以 $x ， y ， z$ 为边长的直角三角形

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二、填空题

5. 抛物线 $x^{2} = 12 y$ 的准线方程为

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6. 若函数 $f (x) = \frac{1}{x - 2 m + 1}$ 是奇函数，则实数 $m =$

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7. 若函数 $f (x) = \sqrt{2 x + 3}$ 的反函数为 $g (x)$ ，则函数 $g (x)$ 的零点为

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8. 书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为（结果用数值表示）.

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9. 在锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $(b^{2} + c^{2} - a^{2}) tan A = b c$ ，则角 $A$ 的大小为.

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10. 若 ${(x^{3} - \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中含有非零常数项，则正整数 $n$ 的最小值为.

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11. 某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 $\frac{1}{20}$ 和 $\frac{1}{21}$ ，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（结果用最简分数表示）.

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t - \sqrt{2} \\ y = \frac{\sqrt{2}}{4} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），椭圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = c o s θ \\ y = \frac{1}{2} s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），则直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的公共点坐标为.

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13. 设函数 $f (x) = {log}_{m} x$ （ $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ），若 $m$ 是等比数列 ${a_{n}}$ （ $n \in N^{*}$ ）的公比，且 $f (a_{2} a_{4} a_{6} \dots a_{2018}) = 7$ ，则 $f (a_{1}^{2}) + f (a_{2}^{2}) + f (a_{3}^{2}) + \dots + f (a_{2018}^{2})$ 的值为.

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14. 设变量 $x$ 、 $y$ 满足条件 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ 2 x + y \leq 2 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq m \end{matrix}$ ，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数 $m$ 的取值范围是.

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15. 设集合 $M = {y | y = {(\frac{1}{2})}^{x} ， x \in R}$ ， $N = {y | y = (\frac{1}{m - 1} + 1) (x - 1) + (| m | - 1) (x - 2) ， 1 \leq x \leq 2}$ ，若 $N \subseteq M$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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16. 点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右两焦点，点 $N$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，若动点 $M$ 满足： ${| \overset{⇀}{M N} |}^{2} = 2 \overset{⇀}{M F_{1}} \cdot \overset{⇀}{M F_{2}}$ ，则 $| \overset{⇀}{M F_{1}} + 2 \overset{⇀}{M F_{2}} |$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 如图所示的正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为 $1$ ，侧棱 $A A_{1} = 2$ ，点 $E$ 在棱 $C C_{1}$ 上，且 $\overset{⇀}{C E} = λ \overset{⇀}{C C_{1}}$ ( $λ > 0$ ).

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，求三棱锥 $D_{1} - E B C$ 的体积；

(2)、当异面直线 $B E$ 与 $D_{1} C$ 所成角的大小为 $arccos \frac{2}{3}$ 时，求 $λ$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x ） =sin x cos x - {sin}^{2} x$ ， $x \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[a ， \frac{π}{16}]$ 上递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图像关于点 $Q (x_{1} ， y_{1})$ 对称，且 $x_{1} \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ ，求点 $Q$ 的坐标.

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19. 某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设.规划中的轨道交通 $s$ 号线线路示意图如图所示.已知 $M ， N$ 是东西方向主干道边两个景点， $P ， Q$ 是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心 $O$ 均为 $5 \sqrt{2} km$ ，线路 $A B$ 段上的任意一点到景点 $N$ 的距离比到景点 $M$ 的距离都多 $10 km$ ，线路 $B C$ 段上的任意一点到 $O$ 的距离都相等，线路 $C D$ 段上的任意一点到景点 $Q$ 的距离比到景点 $P$ 的距离都多 $10 km$ ，以 $O$ 为原点建立平面直角坐标系 $x O y$ .

(1)、求轨道交通 $s$ 号线线路示意图所在曲线的方程；

(2)、规划中的线路 $A B$ 段上需建一站点 $G$ 到景点 $Q$ 的距离最近，问如何设置站点 $G$ 的位置？

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20. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意的实数 $x$ ，存在非零常数 $t$ ，都有 $f (x + t) = - t f (x)$ 成立.

(1)、若函数 $f (x) = k x + 3$ ，求实数 $k$ 和 $t$ 的值；

(2)、当 $t = 2$ 时，若 $x \in [0 ， 2]$ ， $f (x) = x (2 - x)$ ，求函数 $f (x)$ 在闭区间 $[- 2 ， 6]$ 上的值域；

(3)、设函数 $f (x)$ 的值域为 $[- a ， a]$ ，证明：函数 $f (x)$ 为周期函数.

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21. 若数列 ${a_{n}}$ 同时满足条件：①存在互异的 $p ， q \in N^{*}$ 使得 $a_{p} = a_{q} = c$ （ $c$ 为常数）；
②当 $n \neq p$ 且 $n \neq q$ 时，对任意 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n} > c$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为双底数列.

(1)、判断以下数列 ${a_{n}}$ 是否为双底数列（只需写出结论不必证明）；
① $a_{n} = n + \frac{6}{n}$ ； ② $a_{n} = sin \frac{n π}{2}$ ； ③ $a_{n} = | (n - 3) (n - 5) |$

(2)、设 $a_{n} = {\begin{matrix} 101 - 2 n ， 1 \leq n \leq 50 \\ 2^{n - 50} + m ， n > 50 \end{matrix}$ ，若数列 ${a_{n}}$ 是双底数列，求实数 $m$ 的值以及数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、设 $a_{n} = (k n + 3) {(\frac{9}{10})}^{n}$ ，是否存在整数 $k$ ，使得数列 ${a_{n}}$ 为双底数列？若存在，求出所有的 $k$ 的值；若不存在，请说明理由.

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