内蒙古呼和浩特市2018届高三理数第一次质量调研普查考试试卷

试卷更新日期：2018-10-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 6 x \leq 0} ， B = {x \in Z | 2^{x} < 33}$ ，则集合 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、 $6$ B、 $5$ C、 $4$ D、 $3$

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2. 已知 $z = \frac{2 - i}{i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $2$ C、 $- 2 i$ D、 $- 2$

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3. 下列函数中，既有偶函数又在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减的函数是（）

A、 $y = - x^{3}$ B、 $y = 2^{| x |}$ C、 $y = x^{- 2}$ D、 $y = {log}_{3} (- x)$

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4. 已知 $sin θ = \frac{3}{5} ， sin θ - cos θ > 1$ ，则 $sin 2 θ =$ （）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $- \frac{12}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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5. 设直线 $l_{1} ： x - 2 y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： m x + y + 3 = 0$ 的交点为 $A$ ； $P ， Q$ 分别为 $l_{1} ， l_{2}$ 上任意两点，点 $M$ 为 $P ， Q$ 的中点，若 $| A M | = \frac{1}{2} | P Q |$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $3$ D、 $- 3$

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6. 下面程序框图的算术思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入 $m = 210 ， n = 125$ ，则输出的 $n$ 为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $7$ D、 $5$

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7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 $2$ ，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中，面积最大的面的面积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $6$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $12$

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8. 如图为某班 $35$ 名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全.已知该班学生投篮成绩的中位数是 $5$ ，则根据统计图，无法确定下列哪一选项中的数值（）

A、 $3$ 球以下（含 $3$ 球）的人数 B、 $4$ 球以下（含 $4$ 球）的人数 C、 $5$ 球以下（含 $5$ 球）的人数 D、 $6$ 球以下（含 $6$ 球）的人数

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9. 函数 $f (x) = A sin (ω x + ϕ) + B$ 的部分图象如图所示，将函数 $f (x)$ 图象向右平移 $1$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (- 4) + g (15) =$ （）

A、 $3$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 已知球 $O$ 半径为 $3 \sqrt{2}$ ，设 $S 、 A 、 B 、 C$ 是球面上四个点，其中 $∠ A B C = 90^{\circ} ， A B = B C = 4 \sqrt{2}$ ，则棱锥 $S - A B C$ 的体积的最大值为（）

A、 $\frac{64 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{64 \sqrt{2}}{9}$ C、 $\frac{32 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{32 \sqrt{2}}{9}$

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11. 已知 $F_{2} ， F_{1}$ 是双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的上、下两个焦点，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线的上下两支分别交于点 $B ， A$ ，若 $Δ A B F_{2}$ 为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{6} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{6} x$

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12. 已知关于 $x$ 的不等式 $x ln x - a x + a < 0$ 存在唯一的整数解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2 ln x ， \frac{3}{2} ln 3]$ B、 $(ln 2 ， ln 3]$ C、 $[2 ln 2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2 ln 3]$

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二、填空题

13. $\int \begin{matrix} \frac{π}{2} \\ 0 \end{matrix} cos x d x =$ ．

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14. $(2 + x) {(1 - 2 x)}^{5}$ 展开式中， $x^{2}$ 项的系数为．

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15. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = \sqrt{3} ， B C = 2 A C = 2$ ，满足 $| \vec{B A} - t \vec{B C} | \leq \sqrt{3} | \vec{A C} |$ 的实数 $t$ 的取值范围是．

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16. 某煤气站对外输送煤气时，用 $1 ~ 5$ 号 $5$ 个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：
（i）若开启 $2$ 号，则必须同时开启 $3$ 号并且关闭 $1$ 号；
（ii）若开启 $1$ 号或 $3$ 号，则关闭 $5$ 号；
（iii）禁止同时关闭 $4$ 号和 $5$ 号，
现要开启 $2$ 号，则同时开启的另外 $2$ 个阀门是．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和递增的等比数列 ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1 ， b_{1} = 3$ 且， $b_{3} = 2 a_{5} + 3 a_{2} ， b_{2} = a_{4} + 2$

(1)、分别求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n}$ 表示数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若对任意的 $n \in N^{*} ， k b_{n} \geq S_{n}$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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18. 为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值（单位：分贝）进行了 $50$ 天的监测，得到如下统计表：
噪音值（单位：分贝）
$[55 ， 57]$
$(57 ， 59]$
$(59 ， 61]$
$(61 ， 63]$
$(63 ， 65]$
$(65 ， 67]$
频数
$1$
$4$
$12$
$20$
$8$
$5$

(1)、根据该统计表，求这 $50$ 天校园噪音值的样本平均数（同一组的数据用该组组间的中点值作代表）.

(2)、根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过 $65$ 分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过 $59$ 分贝，视为轻度噪音污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：
（i）求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率.
（ii）学校要举行为期 $3$ 天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这 $3$ 天校园出现的重度噪音污染天数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和方差 $D (X)$ .

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19. 一个多面体如图， $A B C D$ 是边长为 $a$ 的正方形， $A B = F B ， F B ⊥$ 平面 $A B C D ， E D / / F B$ .

(1)、若 $D E = \frac{1}{2} B F$ ，设 $B D$ 与 $A C$ 的交点为 $O$ ，求证： $O E ⊥$ 平面 $A C F$ ；

(2)、求二面角 $E - A F - C$ 的正弦值.

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20. 已知椭圆 $C$ 的中心在原点，其中一个焦点与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点重合，点 $(1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，若 $Δ A F_{1} B$ 的面积为 $\frac{6 \sqrt{3}}{5}$ ，求以 $F_{1}$ 为圆心且与直线 $l$ 相切的圆的方程.

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21. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

(1)、讨论函数 $g (x) = f (x) + a ln (x + 1)$ 的单调性；

(2)、设函数 $h (x) = f (x) - e^{x}$ ，记 $x_{0}$ 为函数 $h (x)$ 极大值点，求证： $\frac{1}{4} < h (x_{0}) < 2$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l ： {\begin{matrix} x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C ： ρ = 4 sin θ (0 \leq θ \leq \frac{π}{2})$ .

(1)、求曲线 $C$ 被直线 $l$ 截得的弦长；

(2)、与直线 $l$ 垂直的直线 $M N$ 与曲线 $C$ 相切于点 $M$ ，求点 $M$ 的直角坐标.

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23. 已知函数 $f (x) = 3 | x - 1 | + | 3 x + 7 |$ .

(1)、若不等式 $f (x) \geq a^{2} - 3 a$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = 3$ ，求证： $\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1} \leq \sqrt{f (x)}$ .

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噪音值（单位：分贝）	$[55 ， 57]$	$(57 ， 59]$	$(59 ， 61]$	$(61 ， 63]$	$(63 ， 65]$	$(65 ， 67]$
频数	$1$	$4$	$12$	$20$	$8$	$5$