2016-2017学年河南省平顶山市高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 抛物线y=4x²的焦点到准线的距离为（）

A、2 B、 $\frac{1}{8}$ C、4 D、 $\frac{1}{4}$

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2. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c= $\sqrt{2}$ ，b= $\sqrt{6}$ ，B=120°，则a等于（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 设命题P：∃n∈N，n²＞2ⁿ ，则￢P为（）

A、∀n∈N，n²＞2ⁿ B、∃n∈N，n²≤2ⁿ C、∀n∈N，n²≤2ⁿ D、∀n∉N，n²≤2ⁿ

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4. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a₁=﹣11，a₄+a₆=﹣6，则当S_n取最小值时，n等于（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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5. 设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{b}{a}$ ＜ $\frac{a}{b}$ B、 $\frac{1}{a b^{2}}$ ＜ $\frac{1}{a^{2} b}$ C、a²＜b² D、ab²＜a²b

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6. 已知{a_n}是等比数列，a₂=2，a₅= $\frac{1}{4}$ ，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=（）

A、16（1﹣4^﹣ⁿ） B、16（1﹣2^﹣ⁿ） C、 $\frac{32}{3}$ （1﹣4^﹣ⁿ） D、 $\frac{32}{3}$ （1﹣2^﹣ⁿ）

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7. 设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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8. 已知点F₁ ， F₂是椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2}$ =1的焦点，点M在椭圆C上且满足| $\vec{M F_{1}}$ + $\vec{M F_{1}}$ |=2 $\sqrt{3}$ ，则△MF₁F₂的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、2

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9. 设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA= $\frac{3}{5}$ ，cosB= $\frac{5}{13}$ ，b=3，则c=（）

A、 $\frac{14}{5}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{63}{20}$ D、 $\frac{33}{20}$

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10. 已知不等式（x+y）（ $\frac{1}{x}$ + $\frac{a}{y}$ ）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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11. 已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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12. 等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，M，N分别是AC．BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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二、填空题

13. 四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，∠A₁AB=∠A₁AD=∠DAB=60°，A₁A=AB=AD=1，则AC₁= ．

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14. 设x，y满足约束条件： ${\begin{matrix} x \geq 0 ， y \geq 0 \\ x - y \geq - 1 \\ x + y \leq 3 \end{matrix}$ ；则z=x﹣2y的取值范围为．

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15. 数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a_n₊₁= $\frac{a_{n} - 1}{a_{n}}$ ，a₁=2，则S₂₀₁₇= ．

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16. 平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C，关于曲线C的几何性质，给出下列四个结论：
①曲线C的方程为x²=4y；
②曲线C关于y轴对称
③若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；
④若点P在曲线C上，则1≤|PF|≤4
其中，所有正确结论的序号是．

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三、解答题

17. （Ⅰ）解不等式 $\frac{x^{2} - x - 6}{x - 1}$ ＞0
（Ⅱ）设a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求证（ $\frac{1}{a}$ ﹣1）（ $\frac{1}{b}$ ﹣1）（ $\frac{1}{c}$ ﹣1）≥8．

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18. 已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x²+ $\sqrt{3}$ px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．
（Ⅰ）求C的大小
（Ⅱ）若AB=3，AC= $\sqrt{6}$ ，求p的值．

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19. 在数列{a_n}中，a₁=2，a_n₊₁=4a_n﹣3n+1，n∈N^*
（Ⅰ）证明：数列{a_n﹣n}是等比数列
（Ⅱ）记数列{a_n}的前n项和为S_n ，求证：S_n₊₁≤4S_n ，对任意n∈N^*成立．

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20. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AC=2 $\sqrt{3}$ ，AA₁= $\sqrt{3}$ ，AB=2，点D在棱B₁C₁上，且B₁C₁=4B₁D
（Ⅰ）求证：BD⊥A₁C
（Ⅱ）求二面角B﹣A₁D﹣C的大小．

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21. 设F₁ ， F₂分别是椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₁倾斜角为45°的直线l与E相交于A，B两点，且|AB|= $\frac{4 a}{3}$
（Ⅰ）求E的离心率
（Ⅱ）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．

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22. 已知抛物线C：y=2x² ，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．
（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅱ）是否存在实数k使 $\vec{N A} \cdot \vec{N B} = 0$ ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

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