江苏省徐州市2018届高三数学第一次质量检测试卷

试卷更新日期：2018-10-12 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x = 0}$ ， $B = {- 1 ， 0}$ ，则 $A \cup^{} B =$ ．

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2. 已知复数 $z = \frac{2 + i}{2 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的模为．

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3. 函数 $y = \sqrt{{log}_{\frac{1}{2}} x}$ 的定义域为．

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4. 如图是一个算法的伪代码，运行后输出 $b$ 的值为．

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5. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有人．

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $x - 2 y = 0$ ，则该双曲线的离心率为

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7. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为．

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8. 已知正四棱柱的底面边长为 $3 c m$ ，侧面的对角线长是 $3 \sqrt{5} c m$ ，则这个正四棱柱的体积是 $c m^{3}$

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9. 若函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0)$ 的图象与直线 $y = m$ 的三个相邻交点的横坐标分别是 $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{3}$ ， $\frac{2 π}{3}$ ，则实数 $ω$ 的值为．

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C ： x y = \sqrt{3}$ 上任意一点 $P$ 到直线 $l ： x + \sqrt{3} y = 0$ 的距离的最小值为

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} = 10$ ， $a_{6}^{2} - a_{2}^{2} = 36$ ，则 $a_{11}$ 的值为.

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若圆 $C_{1} ：$ $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上存在点 $P$ ，且点 $P$ 关于直线 $x - y = 0$ 的对称点 $Q$ 在圆 $C_{2} ：$ ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 上，则 $r$ 的取值范围是

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 - | x + 1 | ， x \leq 1 \\ {(x - 1)}^{2} ， x > 1 \end{matrix}$ ，函数 $g (x) = f (x) + f (- x)$ ，则不等式 $g (x) \leq 2$ 的解集为．

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14. 如图，在 $Δ A B C$ 中，已知 $A B = 3 ， A C = 2 ， ∠ B A C = 120 ° ， D$ 为边 $B C$ 的中点.若 $C E ⊥ A D$ ，垂足为 $E$ ，则 $\overset{⇀}{E B} \cdot \overset{⇀}{E C}$ 的值为

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二、解答题

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $cos A = \frac{3}{5}$ ， $tan (B - A) = \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $tan B$ 的值；

(2)、若 $c = 13$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = A A_{1}$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A C$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点.
求证：

(1)、 $M N / / 平面$ $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、 $A N ⊥ A_{1} B$ .

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17. 某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆 $O$ 及其内接等腰三角形 $A B C$ 绕底边 $B C$ 上的高所在直线 $A O$ 旋转180°而成，如图2.已知圆 $O$ 的半径为 $10 c m$ ，设 $∠ B A O = θ ， 0 < θ < \frac{π}{2}$ ，圆锥的侧面积为 $S c m^{2}$ .

(1)、求 $S$ 关于 $θ$ 的函数关系式；

(2)、为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积 $S$ 最大.求 $S$ 取得最大值时腰 $A B$ 的长度.

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18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ . $F$ 为椭圆的右焦点， $A ， B$ 为椭圆上关于原点对称的两点，连接 $A F ， B F$ 分别交椭圆于 $C ， D$ 两点.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若 $A F = F C$ ，求 $\frac{B F}{F D}$ 的值；

(3)、设直线 $A B$ ， $C D$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，是否存在实数 $m$ ，使得 $k_{2} = m k_{1}$ ，若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + 1 ， g (x) = ln x - a (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的极值；

(2)、若存在与函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的图象都相切的直线，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 2$ ， $S_{n} = λ n a_{n} + μ a_{n - 1}$ ，其中 $n ⩾ 2$ ， $n \in N^{*}$ ， $λ$ ， $μ \in R$ .

(1)、若 $λ = 0$ ， $μ = 4$ ， $b_{n} = a_{n + 1} - 2 a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），求证：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，求 $λ$ ， $μ$ 的值；

(3)、若 a ₂ = 3 ，且 λ + μ = $\frac{3}{2}$ ，求证：数列 { a _n } 是等差数列.

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21. 如图， $A B$ 是圆 $O$ 的直径，弦 $B D$ ， $C A$ 的延长线相交于点 $E$ ， $E F$ 垂直 $B A$ 的延长线于点 $F$ .求证： $A B^{2} = B E \cdot B D - A E \cdot A C$ .

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22. 已知矩阵 $A = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}]$ ， $B = [\begin{matrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}]$ ，若矩阵 $M = B A$ ，求矩阵 $M$ 的逆矩阵 $M^{- 1}$ ．

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23. 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线 $l ： {\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = 1 - 2 t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）与圆 $C ： ρ^{2} + 2 ρ cos θ - 2 ρ sin θ = 0$ 的位置关系．

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24. 已知 $a ， b ， c ， d$ 都是正实数，且 $a + b + c + d = 1$ ，求证： $\frac{a^{2}}{1 + a} + \frac{b^{2}}{1 + b} + \frac{c^{2}}{1 + c} + \frac{d^{2}}{1 + d} ⩾ \frac{1}{5}$ ．

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25. 在正三棱柱 . 中，已知 $A B = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $A A_{1}$ ， $A C$ 和 $A_{1} C_{1}$ 的中点．以 ${\overset{⇀}{F A} ， \overset{⇀}{F B} ， \overset{⇀}{F G}}$ 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 $F - x y z$ ．

(1)、求异面直线 $A C$ 与 $B E$ 所成角的余弦值；

(2)、求二面角 $F - B C_{1} - C$ 的余弦值．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知平行于 $x$ 轴的动直线 $l$ 交抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 于点 $P$ ，点 $F$ 为 $C$ 的焦点.圆心不在 $y$ 轴上的圆 $M$ 与直线 $l$ ， $P F$ ， $x$ 轴都相切，设 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与曲线 $E$ 相切于点 $Q (s ， t)$ ，过 $Q$ 且垂直于 $l_{1}$ 的直线为 $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与 $y$ 轴相交于点 $A$ ， $B$ .当线段 $A B$ 的长度最小时，求 $s$ 的值.

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