河南省商丘市2018届高三文数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2018-10-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 9 \leq 0}$ ，集合 $B = {x | 1 - x > 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(1 ， 3]$ C、 $[- 3 ， 1)$ D、 $(- 3 ， 1)$

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2. 复数 $z = \frac{5}{2 + i^{3}}$ （ $i$ 是虚数单位）的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 - i$ D、 $- 2 + i$

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3. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 1 (x \geq 2) \\ {log}_{2} x (0 < x < 2) \end{matrix}$ ，若 $f (m) = 3$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、8 C、1 D、2

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4. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a} = (- 1 ， 2) ， \overset{⇀}{b} = (k ， 1)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ 在 $\overset{⇀}{a}$ 上的投影为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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5. 设 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点，若点 $P (0 ， 2 b) ， F_{1} ， F_{2}$ 是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{70}}{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{3}$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} - a_{n} \geq 2 (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $a_{n} \geq 2 n + 1$ B、 $S_{n} \geq n^{2}$ C、 $a_{n} \geq 2^{n - 1}$ D、 $S_{n} \geq 2^{n - 1}$

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7. 执行如图的程序框图，若输入的是 $k = 9$ ，则输出的 $S =$ （）

A、10 B、15 C、21 D、28

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8. 将函数 $y = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，得到 $y = g (x)$ ， $g (x)$ 为偶函数，则 $ω$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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9. 函数 $f (x) = ln | \frac{1 + x}{1 - x} |$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知正方形 $A B C D$ 如图所示，其中 $A C$ ， $B D$ 相交于 $O$ 点， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ， $I$ ， $J$ 分别为 $A D$ ， $A O$ ， $D O$ ， $B C$ ， $B O$ ， $C O$ 的中点，阴影部分中的两个圆分别为 $Δ A B O$ 与 $Δ C D O$ 的内切圆，若往正方形 $A B C D$ 中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为（）

A、 $\frac{1 + (2 - \sqrt{2}) π}{2}$ B、 $\frac{1 + (4 - 2 \sqrt{2}) π}{4}$ C、 $\frac{1 + (6 - 4 \sqrt{2}) π}{4}$ D、 $\frac{1 + (6 - 2 \sqrt{2}) π}{4}$

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11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $3 π$ B、 $2 π$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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12. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f^{'} (x) + f (x) > 1 ， f (0) = 5$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则不等式 $e^{x} (f (x) - 1) > 4$ (其中 $e$ 为自然对数的底数）的解集为（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0) \cup^{} (3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0) \cup^{} (1 ， + \infty)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 若实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x + y \geq 1 ， \\ 2 x - y \leq 0 ， \\ 3 x - 2 y + 2 \geq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = 3 x - y$ 的最小值为．

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14. 已知球的表面积为 $8 π$ ，此球面上有 $A ， B ， C$ 三点，且 $A B = A C = \sqrt{2} ， B C = 2$ ，则球心到平面 $A B C$ 的距离为

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15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2018这2017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，则此数列的项数为．

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16. 过圆 $M ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = \frac{7}{9}$ 的圆心 $M$ 的直线与抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 相交于 $A ， B$ 两点，且 $\overset{⇀}{M B} = 3 \overset{⇀}{M A}$ ，则点 $A$ 到圆 $M$ 上任意一点的距离的最小值为

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $sin (A + C) = 2 sin A cos (A + C)$ ，且 $C = \frac{3 π}{4}$ .

(1)、求证： $a ， b ， 2 a$ 成等比数列；

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积是2，求 $c$ 边的长.

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18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史，某陶瓷厂在生产过程中，对仿制100件工艺品测得其重量(单位： $k g$ ) 数据，将数据分组如下表：

(1)、统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间 $[2.20 ， 2.30)$ 的中点值是2.25）作为代表.据此，估计这100个数据的平均值；

(2)、根据样本数据，以频率作为槪率，若该陶瓷厂生产这样的工艺品5000件，试估计重量落在 $[2.40 ， 2.70)$ 中的件数；

(3)、从第一组和第六组6件工艺品中随机抽取2个工艺品，求一个来自第一组，一个来自第六组的概率.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A C ⊥ A B ， A C = A B = A A_{1} = 2$ ， $∠ A A_{1} B_{1} = 60 °$ ， $E ， F$ 分別为棱 $A_{1} B_{1} ， B C$ 的中点

(1)、求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；

(2)、在直线 $A A_{1}$ 上是否存在一点 $P$ ，使得 $C P / /$ 平面 $A E F$ ？若存在，求出 $A P$ 的长；若不存在，说明理由.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，若椭圆上一点 $P (\frac{2 \sqrt{6}}{3} ， - 1)$ 满足 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 4$ ，过点 $R (4 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于两点 $M 、 N$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，交椭圆 $C$ 于 $G$ ，求证：存在实数 $λ$ ，使得 $\overset{⇀}{G F_{2}} = λ \overset{⇀}{F_{2} N}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x + 1} + m x^{2}$ ，其中 $m$ 为常数且 $m > - \frac{e}{2}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $y = f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $0 < m \leq 6$ 时， $g (x) = x^{3} - \frac{4}{x} - m x ， x \in (0 ， 2]$ ，若存在 $x_{1} \in R ， x_{2} \in (0 ， 2]$ ，使 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 cos θ + 2 sin θ$ ，直线 $l_{1}$ ： $θ = \frac{π}{6} (ρ \in R)$ ，直线 $l_{2}$ ： $θ = \frac{π}{3} (ρ \in R)$ .以极点 $O$ 为原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴建立平面直角坐标系.

(1)、求直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的直角坐标方程以及曲线 $C$ 的参数方程；

(2)、已知直线 $l_{1}$ 与曲线 $C$ 交于 $O$ ， $M$ 两点，直线 $l_{2}$ 与曲线 $C$ 交于 $O$ ， $N$ 两点，求 $△ O M N$ 的面积.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + 2 | x - 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) > 4$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) > 2 m^{2} - 7 m + 4$ 对于 $\forall x \in R$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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