2016-2017学年河北省石家庄市高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 命题：“∀x＞0，x²+x≥0”的否定形式是（）

A、∀x≤0，x²+x＞0 B、∀x＞0，x²+x≤0 C、∃x₀＞0，x₀²+x₀＜0 D、∃x₀≤0，x₀²+x₀＞0

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2. 抛物线y= $\frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、（ $\frac{1}{16}$ ，0） B、（0， $\frac{1}{16}$ ） C、（0，1） D、（1，0）

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3. 将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，出现一次正面向上，一次反面向上的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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4. 设x∈R，则“1＜x＜3”是“|x﹣2|＜1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 执行如图所示的程序框图，则输出结果s的值为（）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ B、﹣1 C、 $\frac{1}{2}$ D、0

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6. 某单位要在800名员工中抽去80名员工调查职工身体健康状况，其中青年员工400名，中年员工300名，老年员工100名，下列说法错误的是（）

A、老年人应作为重点调查对象，故抽取的老年人应超过40名 B、每个人被抽到的概率相同为 $\frac{1}{10}$ C、应使用分层抽样抽取样本调查 D、抽出的样本能在一定程度上反映总体的健康状况

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7. 若过点P（1， $\sqrt{3}$ ）的直线l与圆x²+y²=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）

A、[ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{2 π}{3}$ ] B、[ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{3}$ ] C、[ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{2}$ ] D、[ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{2}$ ]

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8. 某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下表所示，根据表中的数据可得回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{a}$ =0，据此模型预报，当广告费用为7万元时的销售额为（）
x
4
2
3
5
y
38
20
31
51

A、60 B、70 C、73 D、69

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9. 如图，空间四边形OABC中， $\vec{O A}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{O B}$ = $\vec{b}$ ， $\vec{O C}$ = $\vec{c}$ ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则 $\vec{M N}$ =（）

A、﹣ $\frac{2}{3} \vec{a}$ + $\frac{1}{2} \vec{b}$ + $\frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ ﹣ $\frac{2}{3} \vec{b}$ + $\frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ + $\frac{1}{2} \vec{b}$ ﹣ $\frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a}$ + $\frac{2}{3} \vec{b}$ ﹣ $\frac{1}{2} \vec{c}$

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10. 设F₁、F₂为椭圆的两个焦点，M为椭圆上一点，MF₁⊥MF₂ ，且|MF₂|=|MO|（其中点O为椭圆的中心），则该椭圆的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ ﹣1 B、2﹣ $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 在棱长为a的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M为AB的中点，则点C到平面A₁DM的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3} a$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ a C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ a D、 $\frac{1}{2}$ a

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12. 设F₁、F₂分别是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C的右支上的点，射线PQ平分∠F₁PF₂交x轴于点Q，过原点O作PQ的平行线交PF₁于点M，若|MP|= $\frac{1}{4}$ |F₁F₂|，则C的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、2 D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

13. 若五个数1、2、3、4、a的平均数为4，则这五个数的标准差为．

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14. 设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于1的概率为．

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15. 已知 $\vec{a}$ =（2，﹣1，2）， $\vec{b}$ =（﹣1，3，﹣3）， $\vec{c}$ =（13，λ，3），若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则λ的值为．

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16. 设F₁、F₂分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16}$ =1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（3，1），则|PM|+|PF₁|的最大值为．

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三、解答题

17. 现有6道题，其中3道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
（Ⅰ）所取的2道题都是甲类题的概率；
（Ⅱ）所取的2道题不是同一类题的概率．

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18. 设命题p：（x﹣2）²≤1，命题q：x²+（2a+1）x+a（a+1）≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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19. 从某校高一年级1000名学生中随机抽取100名测量身高，测量后发现被抽取的学生身高全部介于155厘米到195厘米之间，将测量结果分为八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195），得到频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）计算第三组的样本数；并估计该校高一年级1000名学生中身高在170厘米以下的人数；
（Ⅱ）估计被随机抽取的这100名学生身高的中位数、平均数．

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20. 已知圆C：x²+（y﹣1）²=9，直线l：x﹣my+m﹣2=0，且直线l与圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）若|AB|=4 $\sqrt{2}$ ，求直线l的倾斜角；
（Ⅱ）若点P（2，1）满足 $\vec{A P}$ = $\vec{P B}$ ，求直线l的方程．

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21. 如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）从椭圆C上一点M向圆x²+y²=1上引两条切线，切点分别为A、B，当直线AB分别与x轴、y轴交于P、Q两点时，求|PQ|的最小值．

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四、附加题

23. 已知函数f（x）=e^x﹣ax，（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意实数x恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．

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