2016-2017学年广东省汕头市潮阳区高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 命题“∃x₀≤0，使得x₀²≥0”的否定是（）

A、∀x≤0，x²＜0 B、∀x≤0，x²≥0 C、∃x₀＞0，x₀²＞0 D、∃x₀＜0，x₀²≤0

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2. 已知集合A={x|x²﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）

A、（1，3） B、（1，3] C、[﹣1，2） D、（﹣1，2）

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3. 已知圆（x+2）²+（y﹣2）²=a截直线x+y+2=0所得弦的长度为6，则实数a的值为（）

A、8 B、11 C、14 D、17

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4. 函数y= $\frac{\lg | x |}{x^{3}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 将函数y= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ （sinx+cosx）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，所得函数图象的解析式是（）

A、y=cos $\frac{x}{2}$ B、y=sin（ $\frac{x}{2} + \frac{3 π}{4}$ ） C、y=﹣sin（2x+ $\frac{π}{4}$ ） D、y=sin（2x+ $\frac{3 π}{4}$ ）

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6. 函数f（x）= ${\begin{matrix} 3^{x - 2} (x < 2) \\ \log_{3} (x^{2} - 1) (x \geq 2) \end{matrix}$ ，若f（a）=1，则a的值是（）

A、1或2 B、2 C、1 D、1或﹣2

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7. 执行如图的程序框图，则输出S的值为（）

A、2 B、﹣3 C、﹣ $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知a= $3^{- \frac{1}{3}}$ ，b=log₂ $\frac{1}{3}$ ，c= $\log_{\frac{1}{2}}$ $\frac{1}{3}$ ，则（）

A、a＞b＞c B、a＞c＞b C、c＞a＞b D、c＞b＞a

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9. 设a＞0，b＞0，若 $\sqrt{2}$ 是4^a与2^b的等比中项，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、8 C、9 D、10

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10. 已知A，B，P是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上的不同三点，且AB连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积 $k_{P A} \cdot k_{P B} = \frac{2}{3}$ ，则该双曲线的离心率e=（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）

A、8π B、 $\frac{25}{2}$ π C、 $\frac{41}{4}$ π D、12π

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12. 若函数f（x）满足对于任意实数a，b，c，都有f（a），f（b），f（c）为某三角形的三边长，则成f（x）为“可构造三角形函数”，已知f（x）= $\frac{2^{x} - t}{2^{x} + 1}$ 是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）

A、[﹣1，0] B、（﹣∞，0] C、[﹣2，﹣1] D、[﹣2，﹣ $\frac{1}{2}$ ]

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二、填空题

13. 已知 $\sin \frac{θ}{2} + \cos \frac{θ}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，那么cos2θ的值为．

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14. 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D为AC中点，点E满足 $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B D}$ = ．

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15. 已知抛物线y²=4x与经过该抛物线焦点的直线l在第一象限的交点为A，A在y轴和准线上的投影分别为点B，C， $\frac{A B}{B C}$ =2，则直线l的斜率为．

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16. 定义在R上的奇函数f（x），对于∀x∈R，都有 $f (\frac{3}{4} + x) = f (\frac{3}{4} - x)$ ，且满足f（4）＞﹣2， $f (2) = m - \frac{3}{m}$ ，则实数m的取值范围是．

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三、解答题

17. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．

(1)、求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；

(2)、若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．
（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．

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18. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c= $\sqrt{3}$ asinC﹣ccosA．

(1)、求A；

(2)、若a=2，△ABC的面积为 $\sqrt{3}$ ，求b，c．

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19. 已知数列{a_n}满足（a_n₊₁﹣1）（a_n﹣1）=3（a_n﹣a_n₊₁），a₁=2，令b_n= $\frac{1}{a_{n} - 1}$ ．

(1)、求数列{b_n}的通项公式；

(2)、求数列{b_n•3ⁿ}的前n项和S_n ．

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20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

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21. 已知A为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过左右焦点F₁ ， F₂ ，且当线段AF₁的中点在y轴上时，cos∠F₁AF₂= $\frac{1}{3}$ ．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设 $\vec{A F_{1}} = λ \vec{F_{1} B} ， \vec{A F_{2}} = λ_{2} \vec{F_{2} C}$ ，试判断λ₁+λ₂是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．

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22. 已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．

(1)、若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；

(2)、若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；

(3)、若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

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