2016-2017学年安徽省黄山市高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 命题“∀x∈R，2^x＞0”的否定是（）

A、∃x₀∈R，2 $^{x_{0}}$ ＞0 B、∃x₀∈R，2 $^{x_{0}}$ ≤0 C、∀x∈R，2^x＜0 D、∀x∈R，2^x≤0

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2. 若直线Ax+By+C=0（A²+B²≠0）经过第一、二、三象限，则系数A，B，C满足的条件为（）

A、A，B，C同号 B、AC＞0，BC＜0 C、AC＜0，BC＞0 D、AB＞0，AC＜0

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3. 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：
①α∥β⇒l⊥m；
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；
则真命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. “m＜0”是“ $\frac{x^{2}}{m}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{m - 1}$ =1表示的曲线是双曲线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若圆x²+y²﹣6x+6y+14=0关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线l的斜率是（　　）

A、6 B、 $\frac{2}{3}$ C、- $\frac{2}{3}$ D、- $\frac{3}{2}$

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6. 如图，空间四边形OABC中，点M、N分别OA、BC上，OM=2MA、BN=CN，则 $\vec{M N}$ =（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{O A} - \frac{2}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} - \frac{1}{2} \vec{O C}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} - \frac{1}{2} \vec{O C}$

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7. 下列命题中正确的是（）

A、若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 B、若直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+2=0平行，则a=1 C、若命题“∃x∈R，x²+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是a＜﹣1或a＞3 D、命题“若x²﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x²﹣3x+2≠0”

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8. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）

A、8+ $\frac{π}{2}$ + $\sqrt{7}$ B、8+ $\frac{3 π}{2}$ + $\sqrt{7}$ C、6+ $\frac{3 π}{2}$ + $\sqrt{3}$ D、6+ $\frac{π}{2}$ + $\sqrt{3}$

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9. 圆（x﹣3）²+（y﹣3）²=9上到直线3x+4y﹣11=0的距离等于1的点有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、- $\frac{7}{8}$

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11. 过抛物线y²=2px（p＞0）焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为（x﹣3）²+（y﹣2）²=16，则p=（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 在棱长为6的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M是BC的中点，点P是面DCC₁D₁内的动点，且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P﹣BCD的体积最大值是（）

A、36 B、12 $\sqrt{3}$ C、24 D、18 $\sqrt{3}$

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二、填空题

13. 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．

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14. 已知两圆x²+y²=10和（x﹣1）²+（y﹣3）²=10相交于A，B两点，则直线AB的方程是．

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15. l是经过双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，点在l存在一点P，使∠APB=60°，则双曲线离心率的最大值为．

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16. 已知抛物线y²=2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：
①A′F⊥B′F；
②AM⊥BM；
③A′F∥BM；
④A′F与AM的交点在y轴上；
⑤AB′与A′B交于原点．
其中真命题的是．（写出所有真命题的序号）

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三、解答题

17. 设命题p：实数x满足x²﹣4ax+3a²＜0（a＞0），命题q：实数x满足 $\frac{x - 3}{x - 2}$ ≤0。

(1)、若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)、若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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18. 已知定圆C：x²+（y﹣3）²=4，定直线m；x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，

(1)、当l与m垂直时，求出N点的坐标，并证明：l过圆心C；

(2)、当|PQ|=2 $\sqrt{3}$ 时，求直线l的方程．

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19. 如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．

(1)、求证：C′E⊥平面BCE；

(2)、若AC=2，求三棱锥B′﹣ECB的体积．

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20. 已知曲线C上的任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等，直线l过点A（1，1），且与C交于P，Q两点；
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若A为PQ的中点，求三角形OPQ的面积．

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21. 如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．

(1)、求证：CE∥平面SAD；

(2)、求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小．

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22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R（x₀ ， y₀）是椭圆C： $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{12}$ =1上的一点，从原点O向圆R：（x﹣x₀）²+（y﹣y₀）²=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．

(1)、若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；

(2)、若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k₁ ， k₂ ，求k₁•k₂的值；

(3)、试问OP²+OQ²是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

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