2017年云南省大理州高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-08 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设集合A={x∈Z|x²≤4}，B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（）

A、{0，1} B、{﹣1，0} C、{﹣1，0，1} D、{0，1，2}

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2. 在复平面内，复数 $\frac{5 i}{2 - i}$ 的对应点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在等差数列{a_n}中，若a₃+a₄+a₅+a₆+a₇=45，那么a₅等于（）

A、4 B、5 C、9 D、18

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4. 2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N（100，σ²）（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的 $\frac{3}{4}$ ，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（）

A、80 B、100 C、120 D、200

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5. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为30°，且| $\vec{a}$ |= $\sqrt{3}$ ，| $\vec{b}$ |=2，则| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |等于（）

A、1 B、 $\sqrt{13}$ C、13 D、 $\sqrt{7 - 2 \sqrt{3}}$

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6. 函数f（x）=3sin（x+ $\frac{π}{6}$ ）在x=θ时取得最大值，则tanθ等于（）

A、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、﹣ $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 如图程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入m，n分别为225、135，则输出的m=（）

A、5 B、9 C、45 D、90

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8. 已知三个函数f（x）=2^x+x，g（x）=x﹣1，h（x）=log₃x+x的零点依次为a，b，c，则（）

A、a＜b＜c B、b＜a＜c C、c＜a＜b D、a＜c＜b

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9. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）

A、 $8 + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $8 + \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $8 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{32}{3}$

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10. 已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ．BC=4，BD= $\sqrt{3}$ ，∠CBD=90°，则球O的表面积为（）

A、11π B、20π C、23π D、35π

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11. 已知双曲线y²﹣ $\frac{x^{2}}{2}$ =1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k₁ ，直线OP的斜率为k₂ ，则k₁k₂=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、2 D、﹣2

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12. 定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意实数x，有f（x）＞f'（x），且f（x）+2017为奇函数，则不等式f（x）+2017e^x＜0的解集是（）

A、（﹣∞，0） B、（0，+∞） C、 $(- \infty ， \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq x \\ x + y \leq 1 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ ，则x²+y²的最大值为．

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14. ${(2 - \sqrt{x})}^{n}$ 的二次展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中x⁴项的系数为．

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15. 在直角坐标系xOy中，有一定点M（﹣1，2），若线段OM的垂直平分线过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是．

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16. 若数列{a_n}的首项a₁=2，且 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ；令b_n=log₃（a_n+1），则b₁+b₂+b₃+…+b₁₀₀= ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\cos A = \frac{3}{4} ， C = 2 A$ ．

(1)、求sinB的值；

(2)、若a=4，求△ABC的面积S的值．

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18. 某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
10
女生
20
合计
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为 $\frac{3}{5}$ ．
下面的临界值表仅供参考：
P（K²≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d）

(1)、请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；

(2)、针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．

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19. 在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ AD，E、F，分别为PC、BD的中点．

(1)、求证：EF∥平面PAD；

(2)、在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2 $\sqrt{3}$ ，离心率e= $\frac{1}{2}$ ，

(1)、求椭圆C的标准方程：

(2)、若F₁、F₂分别是椭圆C的左、右焦点，过F₂的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F₁AB的内切圆半径的最大值．

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21. 设函数G（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）．

(1)、求G（x）的最小值：

(2)、记G（x）的最小值为e，已知函数f（x）=2a•e^x⁺¹+ $\frac{a + 1}{x}$ ﹣2（a+1）（a＞0），若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．

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22. 已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \cos ϕ \\ y = 1 + 2 \sin ϕ \end{matrix}$ （φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ= $\frac{4}{\cos θ - \sin θ}$ ．

(1)、求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．

(1)、解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；

(2)、设m，n∈{y|y=f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．

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P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	喜欢游泳	不喜欢游泳	合计
男生		10
女生	20
合计